（数论大杂烩）古代猪文

HZOJ
洛谷

写在前面

挺久没写过单独的题解了，然后遇到这道做法挺神奇的题，就是那种让人眼前一亮的方法，遂打算写写。

题意

给出两个数\(n, g\)，求问

\[g^{\sum_{x|n}~\binom{n}{x}}~mod~P~~(P=999911659) \]

的值。

思路

首先组合数的和一定很大，所以考虑对其取模。组合数在幂次的位置，所以需要考虑用扩展欧拉定理降幂。\(P\) 是个质数，所以$$ g^k ~ mod ~ P = g^{k ~ mod ~ 𝜑(P)}~ mod P$$。然后与\(P\) 互质的数有\(P-1\) 个，所以\(𝜑(P)=P-1\)。

但是无法使用卢卡斯定理或扩展卢卡斯定理，我们考虑将模数分解，然后使用中国剩余定理求模数。

\(𝜑(P)\) 可分解为4个较小的质数，我们分别求出组合数模这几个质数的值，再使用CRT，就能解出组合数在模P意义下的数了。然后快速幂即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=999911659,o=999911658,maxn=1e6;
int n,g;
int tot,k[maxn];
int jc[5][maxn],ny[5][maxn],fans[5];
inline int qpow(int x,int y,int p){
	if(x==0) return 0;
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1) res=1ll*res*x%p;
		x=1ll*x*x%p;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
inline int C(int x,int y,int p){
	if(x<y) return 0;
	return 1ll*jc[p][x]*ny[p][y]%k[p]*ny[p][x-y]%k[p];
}
inline int lucas(int x,int y,int p){
	if(!y) return 1;
	return 1ll*lucas(x/k[p],y/k[p],p)*C(x%k[p],y%k[p],p)%k[p];
}
int main(){
	cin>>n>>g;
	if(g==mod) cout<<0,exit(0);
	int p=o;
	for(int i=2;i*i<=p;i++)
		if(p%i==0){
			k[++tot]=i;
			while(p%i==0) p/=i;
		}
	if(p>1) k[++tot]=p;
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		jc[i][0]=ny[i][0]=1;
		for(int j=1;j<k[i];j++) jc[i][j]=1ll*jc[i][j-1]*j%k[i],ny[i][j]=qpow(jc[i][j],k[i]-2,k[i]);
	}
	vector<int> ys;
	for(int i=1;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0){
			ys.emplace_back(i);
			if(i*i!=n) ys.emplace_back(n/i);
		}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		for(int j:ys) fans[i]=(fans[i]+lucas(n,j,i))%k[i];
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		int p=o/k[i];
		ans=(ans+1ll*fans[i]*p%o*qpow(p,k[i]-2,k[i])%o)%o;
	}
	cout<<qpow(g,ans,mod);
	return 0;
}