欧拉函数的部分性质

关于欧拉函数的性质 http://blog.csdn.net/leolin_/article/details/6642096

欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

                                 若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质：

设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

代码实现：

#include<stdio.h>     //欧拉之实现
int ef(int n)
{
	int cnt=n;
	int i;
	for(i=2;i<=n;i++)
		if(n%i==0)
		{
			cnt - =cnt/i;      //   m-m/p
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
		return cnt;
}
int main()
{
	int n;int m;
	int count;
	while(scanf("%d",&m)!=EOF)
	{
		
		while(m--){
			scanf("%d",&n);
		count=ef(n);
		printf("%d\n",count);}
	}
	return 0;
}

另外如果需要求出1到n中所有数的欧拉函数数值，并不需要依次计算。可以用 与筛选法求素数的 类似方法：

void eular()
{
    int i,j,maxn = 1000001;
    for (i = 1; i <= maxn; i++) phi[i] = i;
    for (i = 2; i <= maxn; i += 2) phi[i] /= 2;
    for (i = 3; i <= maxn; i += 2) if(phi[i] == i) {
    for (j = i; j <= maxn; j += i)
        phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
}