【动态规划】最大连续序列和最大子矩阵

一开始接触的动态规划题目就是在杭电OJ上的1003 Max Sum，求一个数列的最大连续子序列，当时花了好长时间才弄懂。后来接触到更多的动态规划题目，就愈发头晕了。

Max Sum 这题应该是很基础吧,状态转移方程为：DP[i]=Max{num[i],DP[i-1]+num[i]} 其中DP[i]表示的是以i位置结束的最大连续子序列的和。如果DP[i-1]<0，也就是说 DP[i-1]+num[i]<num[i],那么最大的序列和就更新为num[i]。具体的代码如下：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
 using namespace std;
 int main()
{
    int t,n;
    int i,j;
    int start,end,p,max,num,sum;
    scanf("%d",&t);
    for(i=1;i<=t;i++)
    {
        p=1;sum=0;
        max=INT_MIN;
        scanf("%d",&n);
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&num);
            sum+=num;
            if(sum>max)
            {
                max=sum;
                start=p;
                end=j;
            }
            if(sum<0)
            {
                p=j+1;
                sum=0;
            }
        }
        printf("Case %d:\n",i);
        printf("%d %d %d\n",max,start,end);
        if(i!=t)
            printf("\n");
    }
    return 0;
}

 

 

基础的问题解决了，那接下来就要面对难一点的了。HDOJ 1081 给你一个矩阵，要你求出最大的子矩阵，所谓最大子矩阵就是：sub-rectangle with the largest sum。这是一个一维扩展到二维的问题，我们可以转化为一维的问题来解决：

详细的思路已经在注释里面写了

 

//求数列最大连续和的扩展 是个好题
 //HDU 1081 动态规划 从一维到二维 从二维转换为一维
 #include<iostream>
 using namespace std;
int line(int *a,int n)//求一维数列的最大连续和
{
    int i,Max=a[0],sum=a[0];
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        if(sum>0)
            sum+=a[i];
        else
            sum=a[i];
        if(Max<sum)
            Max=sum;
    }
    return Max;
}
int n,num[101][101],b[101];

int main()
{
    int i,j,k,Max,s;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
            for(j=0;j<n;j++)
                scanf("%d",&num[i][j]);
        s=-10000000;
        for(i=0;i<n;i++)//i为起始行号 
        {
            for(k=0;k<n;k++) b[k]=0; //每个状态 阶段 都将数列b初始化
            for(j=i;j<n;j++)//这个循环 表示当前求的是i--j 的范围 j为结束行
            {
                for(k=0;k<n;k++) b[k]+=num[j][k]; //这是将之前的行与当前行累加，是二维转换为一维
                Max=line(b,n);  //求单个数列的最大连续和
                if(Max>s)
                    s=Max;//记录最大值
            }
        }
        printf("%d\n",s);//得到最大子矩阵的和
    }
    return 0;
}