Python求解线性规划——PuLP使用教程

简洁是智慧的灵魂,冗长是肤浅的藻饰。——莎士比亚《哈姆雷特》

1 PuLP 库的安装

如果您使用的是 Anaconda[1] 的话(事实上我也更推荐这样做),需要先激活你想要安装的虚拟环境,之后在 Prompt 输入

pip install pulp

不出意外的话等一会就安装完毕。

2 线性规划简介

想必大家能点开这篇文章一定都知道线性规划是什么意思吧……那么我用两个例子再简单说一下。

2.1 线性规划

2.1.1 题目描述[2]

若变量 \(x, y\) 满足约束条件:

\[\left\{ \begin{aligned} & 2x + 3y - 6\geq 0\\ & x + y - 3 \leq 0\\ & y - 2 \leq 0 \end{aligned} \right. \]

\(z = 3x + y\) 的最大值。

2.1.2 基本概念

首先,我们要认清在这道题中,\(x\)\(y\) 是可以变的,所以把它们叫做决策变量。三个不等式叫做约束条件,即 \(x\)\(y\) 必须同时满足这三个不等式。我们若画出图来:

image-20220426182542100

其中不满足约束条件的区域被我标上了颜色,所以 \(x, y\) 可以取得值只能在纯白区域内,这一片区域称作可行域

再看最后的我们的目标:求 \(z = x + 3y\) 的最大值。

于是 \(z=x+3y\) 就被称作目标函数,我们的工作就是求这个目标函数的最大值。

整个问题描述为:

\[\begin{eqnarray*} &\max &z = x+3y \tag{1}\\ &\mathrm{s.t.} & \quad 2x + 3y - 6 \geq0 \tag{2}\\ & & \quad x + 3y - 3 \leq 0 \tag{3}\\ & & \quad y - 2 \leq 0 \tag{4} \end{eqnarray*} \]

然后怎么算?别急我们再看一个例子。

2.2 整数规划

2.2.1 题目描述[3]

汽车厂生产小、中、大三种类型的汽车,已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求以及利润如下表所示。要求每月的钢材消耗不超过 600 t,总劳动时间不超过 60 000 h。试指定生产计划使得工厂每月的利润最大。

小型车 中型车 大型车
钢材 / t 1.5 3 5
劳动时间 / h 280 250 400
利润 / 万元 2 3 4

2.2.2 解题思路

首先,设三个决策变量,用 \(x_1, x_2, x_3\) 分别表示生产小型车、中型车、大型车的数量,但是注意要满足:

  • 车的数量只能是整数
  • 车的数量大于等于 0。

其他约束条件看题直接列:

\[\left\{\begin{aligned} & 1.5 x_1 + 3 x_2 + 5 x_3 \leq 600\\ & 280 x_1 + 250 x_2 + 400 x_2 \leq 60000 \end{aligned}\right. \]

最后写出目标函数

\[z = 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \]

综合起来整个问题描述为:

\[\begin{eqnarray*} &\max & z = 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 \tag{1}\\ &\mathrm{s.t.} & 1.5 x_1 + 3 x_2 + 5 x_3 \leq 600\tag{2}\\ & & 280 x_1 + 250 x_2 + 400 x_2 \leq 60000\tag{3}\\ & & x_1, x_2, x_3 \geq 0\tag{4}\\ & & x_1, x_2, x_3 均为整数\tag{5} \end{eqnarray*} \]

另外可以看出这个题由于涉及到三个决策变量,可行域是相当抽象的,这里就不画了 hhh~

3 求解过程

首先在最前面引入所需的pulp工具库:

import pulp as pl

这句话是引入 pulp 库并简写为 pl,一个 python 库只有在开始 import 了之后才能在后面使用。这样后面凡是用到 pulp 的功能都要写成 pl.xxx

接下来是以下几个步骤:

  • 定义模型
  • 定义决策变量
  • 添加约束条件
  • 添加目标函数
  • 模型求解
  • 打印结果

3.1 定义模型

# Define the model
model = pl.LpProblem(name="My-Model", sense=pl.LpMaximize)

这个操作是使用 pl.LpProblem 创建了一个模型并赋值给变量 model,接收两个参数:

  • name:模型的名字,随便起一个;
  • sense:模型的类型,pl.LpMinimize是求目标函数的最小值,pl.LpMaximize 是求最大值

3.2 定义决策变量

# Define the decision variables
x = pl.LpVariable(name='x')
y = pl.LpVariable(name='y')

如果你的变量比较少的话可以简单这么写。这个意思是定义了两个浮点数变量,取值范围是整个实数域。注意等号左边的变量才是你在之后的计算式中使用的符号,而参数 name 只有在最后打印结果的时候才会被打印出来。另外如果你对变量有其他要求的话可以添加以下参数:

  • lowBound:变量的最小取值(不写的话默认负无穷);
  • upBound:变量的最大取值(默认正无穷);
  • cat:变量的类型,有 pl.Binary 逻辑变量、pl.Integer 整数、pl.Continuous 实数(默认值);

如果你的变量比较多而不得不用 1, 2, 3…… 来编号,可以采用类似这样的写法:

# Define the decision variables
x = {i: pl.LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0, cat=pl.LpInteger) for i in range(1, 9)}

这是一次定义 8 个变量并保存在一个类似数组的结构中,变量都是正整数,分别用 x[1], x[2], ..., x[8] 表示,依次命名为 x1, x2,..., x8。

注意 range(left, right) 表示的区间是左闭右开。

3.3 添加约束条件

# Add constraints
model += (2 * x + 3 * y - 6 >= 0, "constrain_1")
model += (x + 3 * y - 3 == 0, "constrain_2")

没错!如你所见就是这么简单,括号里第一个变量就是你的约束不等式等式,第二个变量是你的自定义的约束名(可以起一个有意义的名字,当然也可以省略)。

由于一些比较数学的原因,约束条件里是不能使用大于号“>”或小于号“<”的。

如果你像前面一样把变量定义在了数组中,那么可以直接用方括号调用:

model += (2 * x[1] + 3 * x[2] - 6 >= 0)

3.4 添加目标函数

# Set the objective
model += x + 3 * y

与前面添加约束条件不同,添加目标函数这一步不用加最外层的括号。

3.5 模型求解

# Solve the optimization problem
status = model.solve()

就写这一句话,调用 modelsolve() 方法,并把结果保存在 status 中。

3.4 打印结果

# Get the results
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")

for var in model.variables():
    print(f"{var.name}: {var.value()}")

for name, constraint in model.constraints.items():
    print(f"{name}: {constraint.value()}")

然后你就能看到模型求解的结果了。

4 示例代码

4.1 高考题代码

首先解决一下 3.1 的高考题:

import pulp as pl

# 定义一个模型,命名为 "Model_3.1",求最大值
model = pl.LpProblem(name="Model_3.1", sense=pl.LpMaximize)

# 定义两个决策变量,取值为整个实数域
x = pl.LpVariable(name='x')
y = pl.LpVariable(name='y')

# 添加三个约束条件
model += (2 * x + 3 * y - 6 >= 0)
model += (x + y - 3 <= 0)
model += (y - 2 <= 0)

# 目标函数
model += x + 3 * y

# 求解
status = model.solve()

# 打印结果
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")

for var in model.variables():
    print(f"{var.name}: {var.value()}")

for name, constraint in model.constraints.items():
    print(f"{name}: {constraint.value()}")

查看结果的最后几行:

status: 1, Optimal
objective: 7.0
x: 1.0
y: 2.0
_C1: 2.0
_C2: 0.0
_C3: 0.0

最大值是 \(7.0\),在 \(x=1.0, y=2.0\) 时取到。

4.2 汽车厂代码

import pulp as pl

# 定义一个模型,命名为 "Model_3.2",求最大值
model = pl.LpProblem(name="Model_3.2", sense=pl.LpMaximize)

# 定义三个决策变量,取值正整数
x = {i: pl.LpVariable(name=f"x{i}", lowBound=0, cat=pl.LpInteger) for i in range(1, 4)}

# 添加约束条件
model += (1.5 * x[1] + 3 * x[2] + 5 * x[3] <= 600)
model += (280 * x[1] + 250 * x[2] + 400 * x[3] <= 60000)

# 目标函数
model += 2 * x[1] + 3 * x[2] + 4 * x[3]

# 求解
status = model.solve()

# 打印结果
print(f"status: {model.status}, {pl.LpStatus[model.status]}")
print(f"objective: {model.objective.value()}")

for var in model.variables():
    print(f"{var.name}: {var.value()}")

for name, constraint in model.constraints.items():
    print(f"{name}: {constraint.value()}")

查看结果的最后几行:

status: 1, Optimal
objective: 632.0
x1: 64.0
x2: 168.0
x3: 0.0
_C1: 0.0
_C2: -80.0

三种车的产量分别取 64、168、0,最大收益 632 万元。


  1. 众所周知 Python 在各个领域如此受欢迎很大程度上是因为其有众多强大的第三方库,但是用的多了就会发现如果安装太多库就有点乱。而 Anaconda 就是一种很方便的管理 Python 环境的工具,不仅可以将不同的库分门别类管理好,更有用的是可以在电脑上安装不同版本的 Python 而不用担心会互相冲突。 ↩︎

  2. 2019 年高考数学全国二卷。 ↩︎

  3. 改编自姜启源等《数学模型(第五版)》108 页例 1。 ↩︎

posted @ 2022-04-26 21:04  Only(AR)  阅读(2148)  评论(0编辑  收藏  举报