BZOJ 3232: 圈地游戏 分数规划+判负环
3232: 圈地游戏
Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 966 Solved: 466
[Submit][Status][Discuss]
Description
DZY家的后院有一块地,由N行M列的方格组成,格子内种的菜有一定的价值,并且每一条单位长度的格线有一定的费用。
DZY喜欢在地里散步。他总是从任意一个格点出发,沿着格线行走直到回到出发点,且在行走途中不允许与已走过的路线有任何相交或触碰(出发点除外)。记这条封闭路线内部的格子总价值为V,路线上的费用总和为C,DZY想知道V/C的最大值是多少。
Input
第一行为两个正整数n,m。
接下来n行,每行m个非负整数,表示对应格子的价值。
接下来n+1行,每行m个正整数,表示所有横向的格线上的费用。
接下来n行,每行m+1个正整数,表示所有纵向的格线上的费用。
(所有数据均按从左到右,从上到下的顺序输入,参见样例和配图)
Output
输出一行仅含一个数,表示最大的V/C,保留3位小数。
Sample Input
3 4
1 3 3 3
1 3 1 1
3 3 1 0
100 1 1 1
97 96 1 1
1 93 92 92
1 1 90 90
98 1 99 99 1
95 1 1 1 94
1 91 1 1 89
1 3 3 3
1 3 1 1
3 3 1 0
100 1 1 1
97 96 1 1
1 93 92 92
1 1 90 90
98 1 99 99 1
95 1 1 1 94
1 91 1 1 89
Sample Output
1.286
HINT
Source
想法:$max(\frac{\sum D}{\sum C})$,一般都是用分数规划求。
对于一个环,某一行\列所选择的边都是偶数的。被包含的部分就像左右括号包含一样。于是这样建图:
横边:
①$(i,j)->(i,j+1):C_i=边花费,D_i=sum[i][j](即该列的前缀和)$
②$(i,j)->(i,j-1):C_i=边花费,D_i=-sum[i][j](即该列的前缀和)$
竖边:
①$(i,j)->(i+1,j):C_i=边花费,D_i=0$
②$(i,j)->(i-1,j):C_i=边花费,D_i=0$
然后判断合法,即是判断图中是否有非负环,可以权值取反后DFS_spfa求负环(这里有一个比较快的求法)。
另一个解法:考虑如果相邻的格子被同时选中,那么中间的边的费用就不会算进来了,于是变成最小割模型。
#include<cstdio> typedef long long ll; template<class T> inline void read(T&x) { x=0;bool f=0;char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9')&&c!='-')c=getchar(); if(c=='-')f=1,c=getchar(); while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();} x=f?-x:x; } const int MAXN(60); const double eps(1e-6); int n,m,val[MAXN][MAXN],row[MAXN][MAXN],line[MAXN][MAXN],sum; double ans; struct Node{int nd,nx,v,c;}bot[MAXN*MAXN<<2];int tot,first[MAXN*MAXN]; int P(int x,int y){return (x-1)*(m+1)+y;} void add(int a,int b,int v,int c){bot[++tot]=(Node){b,first[a],v,c};first[a]=tot;} void build() { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)val[i][j]+=val[i-1][j]; for(int i=1;i<=n+1;i++) for(int j=1;j<=m;j++) add(P(i,j),P(i,j+1),val[i-1][j],row[i][j]), add(P(i,j+1),P(i,j),-val[i-1][j],row[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m+1;j++) add(P(i,j),P(i+1,j),0,line[i][j]), add(P(i+1,j),P(i,j),0,line[i][j]); } double dis[MAXN*MAXN],limt; bool vis[MAXN*MAXN],flag; void dfs(int x) { vis[x]=true; for(int v=first[x];v;v=bot[v].nx) if(dis[bot[v].nd]>dis[x]+bot[v].c*limt-bot[v].v+eps) { if(vis[bot[v].nd]){flag=true;return;}; dis[bot[v].nd]=dis[x]+bot[v].c*limt-bot[v].v; dfs(bot[v].nd);if(flag)return; } vis[x]=false; } bool ok(double mid) { limt=mid; flag=false; for(int i=1;i<=(n+1)*(m+1);i++)dis[i]=vis[i]=0; for(int i=1;i<=(n+1)*(m+1);i++) { dfs(i);if(flag)return true; } return false; } int main() { // freopen("C.in","r",stdin); // freopen("C.out","w",stdout); read(n);read(m); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)read(val[i][j]),sum+=val[i][j]; for(int i=1;i<=n+1;i++) for(int j=1;j<=m;j++)read(row[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m+1;j++)read(line[i][j]); build(); for(double l=0,r=sum,mid;l+eps<r;) if(ok(mid=(l+r)/2))l=mid,ans=mid;else r=mid; printf("%.3lf",ans); return 0; }