2026.5.15 题目

主要类型？

大概是计数，Ad-hoc（交互，通信），以及一些杂题。

好我们开始。

Popping Balloons

不是第一次看过这么拆期望的。

发现这个第一次停止时间的期望很难做啊，能不能拆成概率呢？

我们将排序的过程每一种可能都写出来，发现可以拆成每一种未排序序列的出现概率。然后再进一步，转成总共 \(n\) 减去已排序序列的出现概率。而每一种排列的出现概率就是：

\[\dfrac{n-j}{n}\times\dfrac{n-j-1}{n-1}...\times\dfrac{1}{j+1}=\dfrac{j!(n-j)!}{n!} \]

考虑计算长度为 \(j\) 的上升子序列方案数。注意这里值域只有 \(3\)，所以可以定义 \(dp_{i,k,t}\) 表示考虑前 \(i\) 个，长度为 \(k\)，最后一个值为 \(t\) 的方案数，然后暴力转移是 \(O(n^2)\) 的。

但是可以使用多项式优化，因为容易注意到主要难点长度是可以卷积的，可以优化到 \(O(v^2n \log^2 n)\)。