线性代数

前言

本来并不是很打算做这一篇（？）但是突然发现线性代数也有不低的研究价值，遂开个坑。

内容应该会比前两周差不多，尽量写的通俗易懂吧。

这篇应该会对小白很友好，因为我也是线代小白。

1.1 线性代数简介

首先我们这里不是数学上的线代，反正我也不是 MOer。因此本篇对于一些篇幅巨大的证明将会略去，如果实在好奇推荐去看 OI-WIKI 或者自行上网查资料。

然后本篇主要着重于讲线代与 OI 相关的部分，因此无关或者没啥用的会被略去。然后由于线代相比组合数学和数论定义非常多（且并不广为人知）所以我们这边会讲一下后面会用到的定义方便理解。

本文主要目的是打好 OI 线代基础，所以不会有太多的运用，因此矩阵乘法和线性基将不会在此出现（可能会提一嘴）

1.1.1 矩阵

在 OI 中，你可以将矩阵视为一个二维数组。也即我们称一个大小为 \(n \times m\) 的二维数组（可以形象的理解为 \(n\) 行 \(m\) 列）称为大小为 \(n \times m\) 的矩阵。特别地，我们称 \(n=m\) 的方阵称作 \(n\) 阶方阵。

对于矩阵的每个部分，我们有如下定义：

• 主对角线：我们可以将矩阵第 \(i\) 行第 \(j\) 列的位置叫做 \(a_{i,j}\)，主对角线就是 \(i=j\) 的位置集合。
• 行/列：这涉及到转置的概念。通常我们对于一个 \(n \times m\) 的矩阵 \(A\)，\(A^{T}\) 是其转置矩阵，转置矩阵就是将行列互换，形式化表示为 \(A^T_{i,j}=A_{j,i}\)。
• 次对角线：我们通常称 \(i-j=1\) 的位置集合为次对角线。

有一些特殊矩阵定义：

• 对角矩阵：只有主对角线非 \(0\) 的矩阵。
• 单位矩阵：我们后续将用 \(I\) 表示，指的是主对角线全为 \(1\) 的对角矩阵。
• 上/下三角矩阵：主对角线以下/上的元素全 \(0\) 的矩阵。
• 对称矩阵：\(A^{T}=A\)。
• 单位三角矩阵：非 \(0\) 元素全为 \(1\) 的三角矩阵。

矩阵最重要的有如下几个运算：

• 矩阵乘法。满足结合律，分配律，不满足交换律。定义为 \(C=A\times B\)，\(C_{i,k}=\sum_{j=1}^m A_{i,j}B_{j,k}\)。前提是 \(A\) 矩阵的列数等于 \(B\) 矩阵的行数。运用矩阵乘法，我们将可以优化一种线性递推类的 DP。当然这并不是线性代数的主题，我们将略过。
• 行列式：通常仅适用于方阵。定义为 \(\sum_{\sigma}(-1)^{\pi(\sigma)}\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma_i}\)。这边的 \(\sigma\) 是一个排列，\(\pi(\sigma)\) 是该排列的逆序对数量。可以用后文说的高斯消元优化到 \(O(n^3)\) 计算。
• 求逆：定义 \(A^{-1}\) 为矩阵 \(A\) 的逆矩阵，满足 \(A^{-1}A=I\)。逆矩阵不一定存在，若存在可以用高斯消元求解。

1.1.2 线性空间 & 基