动态规划入门指北
P1359 租用游艇
思路
首先设出 \(dp\) 数组：\(dp_i\) 表示走到第 \(i\) 个点时的最小花费。于是乎，建一个反图，对于每一个 \(i\) 找到能与其相连的最小路程。得到转移方程：
时间复杂度为 \(O(n^2)\)。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200;
int dp[N];//dp[i]表示到达i点所需的最少价钱
int n;
int mp[N][N];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n-i;j++){
int opt;
cin>>opt;
mp[i][i+j]=opt;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
dp[i]=INT_MAX/2;
}
dp[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(mp[j][i]!=0&&i!=j){
dp[i]=min(dp[j]+mp[j][i],dp[i]);
}
}
}
cout<<dp[n]<<endl;
return 0;
}
P1757 通天之分组背包
思路
分组背包版题。
首先，这个题目与 01 背包不同的是，01 背包是所有的都只能选一个。这个是每个组里只能选一个。对于这样的条件，我们可以对于每一组分别进行 01 背包。
时间复杂度为 \(O(n \times m \times k)\)。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int zu[N][N],w[N],v[N];
int cnt[N],mark[N];
int n,m;
int dp[N];
int main(){
cin>>m>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
cnt[c]++;
zu[c][cnt[c]]=i;
w[i]=a;
v[i]=b;
}
memset(dp,1e9,sizeof(dp));
dp[0]=0;
for(int k=1;k<N;k++){
if(cnt[k]){
for(int i=m;i>=0;i--){
for(int j=1;j<=cnt[k];j++){
if(i>=w[zu[k][j]]){
dp[i]=max(dp[i],dp[i-w[zu[k][j]]]+v[zu[k][j]]);
}
}
}
}
}
cout<<dp[m]<<endl;
return 0;
}
P1832 A+B Problem（再升级）
闲话（乐
人类智慧。
思路
首先，因为只能由质数组成这个数，故先把所有的质数筛出来 （因为数据范围只有1000，故这里我直接采用暴力筛法）。对于每一个质数，可以选无数次。所以可以转换为完全背包。则有 \(dp\) 数组：\(dp_i\) 表示组成 \(i\) 的可能的方案数。得到转移方程：
其中 \(j\) 表示当前需要组成的数，\(i\) 表示当前所选择的质数。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n;
bool check(int x){
for(int i=2;i<=x-1;i++){
if(x%i==0){
return false;
}
}
return true;
}
int dp[N];
bool mark[N];
signed main(){
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(check(i)){
mark[i]=1;
}
}
dp[0]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(mark[i]==1){
for(int j=i;j<=n;j++){
dp[j]+=dp[j-i];
}
}
}
cout<<dp[n]<<endl;
return 0;
}
P1203 [USACO1.1] 坏掉的项链 Broken Necklace
思路
水
对于每一位预处理出它的左右的红蓝珠子的值即可。最后统计答案的时候对于每一位分别算它左边和右边的红蓝色的最大值相加就可以了。
警钟撅烂（wssb
这题不是对于某一个珠子进行操作，而是对两个珠子的间隙操作捏。。。。。。。。。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=7e2+10;
int lr[N],lb[N],rr[N],rb[N];
char a[N];
int n;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
a[i+n]=a[i];
}
for(int i=1;i<=2*n;i++){
if(a[i]=='r'){
lr[i]=lr[i-1]+1;
}else if(a[i]=='b'){
lb[i]=lb[i-1]+1;
}else{
lr[i]=lr[i-1]+1;
lb[i]=lb[i-1]+1;
}
}
for(int i=2*n;i>=1;i--){
if(a[i]=='r'){
rr[i]=rr[i+1]+1;
}else if(a[i]=='b'){
rb[i]=rb[i+1]+1;
}else{
rr[i]=rr[i+1]+1;
rb[i]=rb[i+1]+1;
}
}
int ans=0;
for(int i=2*n-1;i>=1;i--){
ans=max(ans,max(lr[i],lb[i])+max(rr[i+1],rb[i+1]));
}
cout<<min(ans,n)<<endl;
return 0;
}
P1470 [USACO2.3] 最长前缀 Longest Prefix
思路
首先，分析什么情况下，有目标字符串能被分解。用 \(dp_i\) 表示当前 \(i\) 位之前能否被分解。则 \(dp_i\) 为真的必要条件就是：在 \(i\) 之前有一个 \(j\) 满足 \(dp_j\) 为真，且从 \(j+1\) 到 \(i\) 是一个元素。此时更新答案。
输入有点恶心
AC code
此题就不放代码了 （太丑陋捏
P2858 [USACO06FEB] Treats for the Cows G/S
思路
区间dp板子
首先，以为取数时只能从左右两边取，于是乎，尝试设出 \(dp_{i,j}\) 表示，还剩 \(i\) 到 \(j\) 这个区间的数时已取走的最大价值。然后枚举起点 \(i\) 和终点 \(j\)。则转移方程为：
此处拜谢 tyr_04，注意此处的转移应该注意，是从大范围向小范围转移，故第二重循环因从 \(n\) 到 \(1\)。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e3+10;
int dp[N][N];
int n;
int a[N];
signed main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=n;j>=i;j--){
int day=n-j+i-1;
dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+a[i-1]*day,dp[i][j+1]+a[j+1]*day);
}
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=max(ans,dp[i][i]+a[i]*n);
// cout<<ans<<endl;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形
思路
先将题目中说的最少踢走多少人转换为最多留下来多少人。我们发现，留下来的人就是两个单调不减的序列。故将留下来的人分为两个序列。当枚举的 \(i\) 和 \(j\) 满足上升和下降时，分别有转移方程：
此题结
AC code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e2+10;
int up[N],down[N],a[N];
int n;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
up[i]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
down[i]=1;
}
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<i;j++){
if(a[i]>a[j]){
up[i]=max(up[i],up[j]+1);
}
}
}
// for(int i=1;i<=n;i++){
// cout<<up[i]<<" ";
// }
// cout<<endl;
for(int i=n-1;i>=1;i--){
for(int j=n;j>i;j--){
if(a[i]>a[j]){
down[i]=max(down[i],down[j]+1);
}
}
}
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=max(ans,up[i]+down[i]-1);
}
cout<<n-ans<<endl;
return 0;
}
P1077 [NOIP2012 普及组] 摆花
思路
01背包，对于每一种不同的颜色进行背包即可。
时间复杂度：\(O(n*m*a_i)\)。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
const int M=1e2+10;
const int mod=1e6+7;
int n,m,tot;
int v[N],a[M];
int dp[N];//dp[i][j]表示当前是第i盆花的，已经放了j盆的方案数
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=1;j--){
for(int k=1;k<=min(a[i],j);k++){
dp[j]=(dp[j]+dp[j-k])%mod;
}
}
}
cout<<dp[m]%mod<<endl;
return 0;
}
P1095 [NOIP2007 普及组] 守望者的逃离
思路
这题可以纯贪心也可以过。大致贪心思路就是：能闪现的时候就闪现，没有闪现且走比闪现要慢的时候，就等闪现。其余时候走。
但是纯贪心着实不好处理。我们尝试用一点 \(dp\) 来处理。先设出 \(dp\) 数组：\(dp_i\) 表示当第 \(i\) 秒的时候，最远走到了哪里。则有转移方程：
当能够闪现的时候：
此时能量值也要变。当不能闪现，但路程大于六十时：
最后在处理一下，走路快的情况，答案即为：\(dp_t\)。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int m,s,t;
int dp[N];
signed main(){
cin>>m>>s>>t;
for(int i=1;i<=t;i++){
if(m>=10){
m-=10;
dp[i]=dp[i-1]+60;
}else if(m<10){
m+=4;
dp[i]=dp[i-1];
}
}
for(int i=1;i<=t;i++){
dp[i]=max(dp[i],dp[i-1]+17);
if(dp[i]>=s){
cout<<"Yes"<<endl;
cout<<i<<endl;
return 0;
}
}
cout<<"No"<<endl;
cout<<dp[t]<<endl;
return 0;
}
P1435 [IOI2000] 回文字串
思路
首先要想到一点，求最少要加多少个数，就是求总长减去这个字符串与它的反串的最长公共子序列。（这个点很重要，可以通用，经常有类似的题）。于是乎这题就被简化了。有数组 \(dp_{i,j}\) 表示第一个字符串为 \(i\) 位，第二个字符串处于 \(j\) 位时的最大公共子序列。则有：
当 \(s1_i\) 等于 \(s2_j\) 时：
当不等时，则有：
然后答案就是 \(len - dp_{len,len}\)。
对于最长公共子序列有兴趣的可以看看这个加强版的模板题：P1439 【模板】最长公共子序列。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int dp[N][N];
char s[N],h[N];
int n;
signed main(){
cin>>s+1;
n=strlen(s+1);
// cout<<n<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++){
h[n-i+1]=s[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(h[i]==s[j]){
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
}else{
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
}
cout<<n-dp[n][n]<<endl;
return 0;
}
P1364 医院设置
思路
呃。。。不知道这个题为什么会放在dp的题单里。思路也很简单：先 floyd 预处理出两个点之间的最短路，然后枚举医院设在哪个位置，计算最小值即可。详见代码。
呃。。。其实 floyd 本质上就是 dp。
AC code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e2+10;
int mp[N][N];
int people[N];
int n;
signed main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
mp[i][j]=INT_MAX;
}
mp[i][i]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
int lson,rson;
cin>>people[i]>>lson>>rson;
if(lson){
mp[i][lson]=1;
mp[lson][i]=1;
}
if(rson){
mp[i][rson]=1;
mp[rson][i]=1;
}
}
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
mp[i][j]=min(mp[i][k]+mp[k][j],mp[i][j]);
}
}
}
int ans=INT_MAX;
for(int i=1;i<=n;i++){
int opt=0;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i!=j){
opt+=(people[j]*mp[i][j]);
}
}
ans=min(ans,opt);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号