<原创>Kruskal算法实践——POJ 1789<这题使用Prim更加快且省内存，参见我的另一篇博文>

 一、说明

     POJ 1789这道题目看完题意之后，因为每个顶点到其他所有顶点都有边，所以这个问题显然是个稠密图，对于稠密图显然Prim更快，而且，如果细细分析之后，会发现Prim不仅仅是比Kruskal快哟，关键是省去了巨大内存空间。

     关于这个道题用Prim并且考虑内存节省的题解，参见我的博文：

     http://www.cnblogs.com/Oloo/articles/3631631.html

 二、Kruskal算法

     算法描述：

     将边按照升序排序，然后按照这个顺序依次取边，判断符不符合加入条件，如果符合，则把这条边的两个顶点合并成一个set，不符的话，取下一条边，重复上述过程。

     上面描述中的判断条件是，两个顶点是否位于一个set中。

 三、并查集的应用

     通过上面Kruskal算法描述，可以看出，我们有一个需要解决的问题——判断两个顶点是否属于同一个集合。

     这个就是并查集的典型应用。

     1、首先，我们想一下需要的操作，写出API

        MakeSet()//初始化

        Find(int u)//查找顶点u所在的集合标志，也就是下面说的集合的根节点

        Union(int u,int v)//将顶点u和顶点v所在的集合合并

     2、原理

        首先想一个最容易想到的方法

        那就是一个数组flag，执行makeSet()，将flag[i]=i 。每次执行Find(int u)的时候返回flag[u]，这一步时间复杂性O(1)。每次执行Union(int u , int v)的时候，将所有和顶点u在同一集合的顶点的flag[i]置成flag[v]或者反过来，这一步时间复杂度O(n)。

        下面做一下优化。

        考虑树型结构，我们将同一个集合的顶点连成树型结构，一个集合有一个根节点。我们不在设置上面的flag数组，而是设置root[]和size[]两个数组。Root[i]表示i的父节点。在i点是一个集合的根节点的前提下，size[i]表示以i为节点的树型结构的节点数目。下面具体考虑Find()和Union()的优化。

        Find()操作，因为root[i]储存i点的父节点，size[]要求根节点，所以，我们要求快速找到i所在树型结构的根节点，这里可以使用一个编程的trick，可以一边快一点找到根节点，一边将树扁平化。详情参见六程序实现中的Find方法。

        Union操作，我们的目标是尽量让构成的树型结构尽量扁平化，所以，当树i和树j合并的时候，我们要看一下他们的size[]，将size较小的那棵树的根节点k的root[k] = size大的那棵树的根节点h，即root[k] = h。详情参见六程序实现中的Union方法。

        备注：博主比较懒散，只是当做记录一下，所以，说得可能不是太清楚，记得好像有个普林斯顿的算法公开课的第一节课就是讲并查集。<貌似主讲人是高德纳的徒弟哟..>

 四、问题描述

     POJ 1789：http://poj.org/problem?id=1789

     卡车的牌照标识一般是从一种牌照演化到另一种，现在历史学家要研究牌照演化的进程，给定一组卡车牌照，写个程序帮历史学家找出牌照演化的最小生成树<详细见问题分析>。     

 五、问题分析

     编程之前需要解决两个问题：

     问题一、图的构造？

     问题二、Kruskal算法中的排序实现？

   

     问题一：这道题目图的构造还是不算难的！以每种卡车牌照为节点，任意一种牌照到其他牌照都有边，边的权重，通过比较两种牌照之间相同位置的不同字符个数。

     

     问题二：前面也提到了，博主比较懒散，所以，博主采用了#include<algorithm>中的sort的方法，我们要使用这个方法，只要重写一个cmp方法即可，详情参见程序实现中的cmp方法。关于stl中sort方法效率的问题，参见：http://blog.sina.com.cn/s/blog_9d987af501014zlj.html。至此，这个题目使用Kruskal解决。

     

 六、程序实现

#include<iostream>
#include<string>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct edge
{
    int u,v;
    int d;
} edges[1999000];

int N;//卡车编号的个数
int root[2000];//每个set的根节点
int size[2000];//每个set的大小
char strs[2000][8];
int edgeNum;//边的条数

void makeSet()
{
    for(int i = 0;i < N;i++)
    {
        root[i] = i;
        size[i] = 1;
    }
}

int Find(int i)
{
    while(i != root[i])
    {
        root[i] = root[root[i]];
        i = root[i];
    }
    return i;
}

void Union(int u , int v)
{
    int r1 = Find(u);
    int r2 = Find(v);
    if(size[r1] > size[r2])  {root[r2] = r1; size[r1] += size[r2];}
    else {root[r1] = r2; size[r2] += size[r1];}
}

int countD(int i , int j)
{
    int sum = 0;
    for(int k = 0;k < 7;k++)
        if(strs[i][k] != strs[j][k])
            sum++;
    return sum;
}

void input()
{
    makeSet();
    for(int i = 0;i < N;i++)
    {
        cin >> strs[i];
    }
    edgeNum = 0;
    for(int i = 0;i < N;i++)
    {
        for(int j = i+1;j < N;j++)
        {
               edges[edgeNum].u = i;
               edges[edgeNum].v = j;
               edges[edgeNum].d = countD(i,j);
               edgeNum++;
        }
    }
}

bool cmp(const edge & a, const edge & b)  
{  
    return a.d < b.d;  
}  

int Kruskal()
{
    //将边按照权重排序
    sort(edges, edges + edgeNum, cmp);
    int sum = 0;
    for(int i = 0;i < edgeNum;i++)
        if(Find(edges[i].u) != Find(edges[i].v))
        {
            Union(edges[i].u,edges[i].v);
            sum += edges[i].d;
        }
    return sum;
}

int main()
{
    while(cin >> N)
    {
        if(N == 0) break;
        input();
        cout<<"The highest possible quality is 1/"<<Kruskal()<<"."<<endl;
    }
    return 0;
}

 七、出现问题

     问题1——MLE：

     这是我第一次超内存。之前我一直不理解，为什么很多人做ACM题的时候，喜欢根据数据范围，直接声明全局数组。我之前都是用int *s，s = new int[N]。但是动态申请占用堆空间，极容易MLE。

     问题2——string：

     这道题目计算每种牌照距离的时候，我第一次将strs[i]赋值给了一个临时的string变量。。这个弱智的地方导致我TLE。

 八、感想

       自己通过自己独立分析问题，自己独立编程实现，最后这个题目AC，这个节奏还是很好的~

       最后，YZY，我想你！~