<原创>回溯法应用——八皇后问题

 

       一、问题描述

            在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

       二、回溯法一句话概括

            从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。

       三、八皇后问题分析

            首先注意到每一行都要放置一个皇后，所以数据表示可以使用一个数组S，S[i]表示第i行第S[i]列放置了皇后。

            回溯的前进条件：在i行，找到一个位置可以放置皇后，则开始为第i+1行找寻可以放置皇后的位置。

            返回的情形：1、进行到第i行，但没有找到可以放置皇后的位置，那么跳回第i-1行，修改该行的皇后位置。

                             2、进行到第8行，找到一种放置皇后的解法，返回第7行，修改第7行的皇后的位置，以找寻更多的解。

 

      四、程序实现<C++ VS2012>

           1、递归程序实现如下：      

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 8

int *s; //存储已放置的皇后位置,s[i]表示第i行第s[i]列放置了皇后
int now = 0;
int m = 0;

int canPut(int i , int j)
{
    //和已经放置的皇后位置进行比较
    for(int k = 0;k < now;k++)
        if(s[k] == j || abs(k-i)==abs(s[k]-j))
            return 0;
    return 1;
}

void backTrack()
{
    for(int i = 0;i < 8;i++)
    {
        if(now > 7)
        {
            //输出这一种结果
            m++;
            for(int h = 0;h < 8;h++)
                cout << s[h];
            cout <<endl;
            return;
        }
        if(canPut(now,i))
        {
            //可以放置
            s[now] = i;
            now++;
            backTrack();
            now--;
        }
    }
}

int main()
{
    s = new int[N];
    backTrack();
    cout << m;
    return 0;
}

           2、非递归程序实现如下：

#include <iostream>
#define N 8
using namespace std;

int s[9]; //s[i]表示第i行，第s[i]列，这个位置 (i,s[i])  下标从1开始
int sum;

void init()
{
        for(int i = 1; i <= 9; i++)
                s[i] = 0;
}


bool canPut(int k)
{
        //k表示当前进行到了第k行，要拿出前k-1行的皇后来和当前第k行的皇后比较
        for(int i = 1; i < k; i++)
                if((abs(k - i) == abs(s[k] - s[i])) || s[i] == s[k])
                        return false;//1.是否在同一斜线;2.是否位于同一列
        return true;
}

void Backtrack()
{
      s[1] = 0; //第一行，结合下面s[k]++
      int k = 1;
      while(k > 0)
      {
          s[k]++;
          while(s[k] <= N && !canPut(k))
              s[k]++;
          //找到了放置第k行皇后的位置
          if(s[k] <= N)
          {
              if(k == N)
              {
                  sum++;
              }
              else
              {
                  k++;
                  s[k] = 0;
              }
          }
          else
          {
              //没找到放置第k行皇后，则跳回第k-1行
              k--;
          }

      }

}

int main()
{
        sum = 0;
        Backtrack();
        cout<<sum;
        return 0;
}

      五、online judge上类似的题目<可以用来测试代码>

           百练2754：http://bailian.openjudge.cn/practice/2754

           这个就是把皇后的放置解法保存下来之后，求一下就行了。

           这个是我的AC代码：

#include <iostream>
#include<sstream>
#include<cmath>
#define N 8
using namespace std;

int ss[9]; //ss[i]表示第i行，第ss[i]列，这个位置 (i,ss[i])  下标从1开始
int res[92];//存放92个解的数组
int index = 0;

void storeResult()
{
    stringstream str;
    for(int i = 1;i <= N;i++)
    {
        str<<ss[i];
    }
    str >> res[index];
    index++;
}

bool canPut2(int k)
{
        //k表示当前进行到了第k行，要拿出前k-1行的皇后来和当前第k行的皇后比较
        for(int i = 1; i < k; i++)
                if((abs(k - i) == abs(ss[k] - ss[i])) || ss[i] == ss[k])
                        return false;//1.是否在同一斜线;2.是否位于同一列
        return true;
}

void Backtrack2()
{
      ss[1] = 0; //第一行，结合下面s[k]++
      int k = 1;
      while(k > 0)
      {
          ss[k]++;
          while(ss[k] <= N && !canPut2(k))
              ss[k]++;
          //找到了放置第k行皇后的位置
          if(ss[k] <= N)
          {
              if(k == N)
              {
                  //找到一组解
                  storeResult();
              }
              else
              {
                  k++;
                  ss[k] = 0;
              }
          }
          else
          {
              //没找到放置第k行皇后，则跳回第k-1行
              k--;
          }

      }

}

int main()
{
    int times = 0;
    cin >> times;
    int *p = new int[times];

    for(int i = 0;i < times;i++)
        cin >>p[i];

    Backtrack2();

    for(int i = 0;i < times;i++)
        cout << res[(p[i]-1)]<<endl;
    return 0;
}

     六、感想

          自己通过自己独立分析问题，自己独立编程实现，最后在百练上找到这个题目顺利AC，这个节奏还是很好的~

          另外，感觉八皇后问题真的是典型的回溯法的应用。

          最后，YZY，我想你！~