二分（Binary Search） 总结

一、模板: 用start/end 双指针逼近： while(start + 1 < end): 可以避免find last position of target 等问题 case : [1,1] 造成的死循环

　　如果target不存在，循环结束后，start 和 end 会夹住应该插入target的位置。 

1. 如果有重复的target, 会找到最前面的那个：

    int start = 0, end = arr.length - 1;
        while(start + 1 < end){
            int mid = start + (end - start) / 2;
            if(arr[mid] < x){
                start = mid;
            }
            else{
                end = mid;
            }
        }

2.如果有重复target，找到最后面那个：

int start = 0, end = arr.length - 1;
        while(start + 1 < end){
            int mid = start + (end - start) / 2;
            if(arr[mid] <= x){
                start = mid;
            }
            else{
                end = mid;
            }
        }

3. 跳出循环时指针位置对比: √:  target Ο: 小于target，Δ: 大于target

往前找                              往后找

ΟΟΟ√ΔΔΔ                     ΟΟΟ√ΔΔΔ  

      ↑↑                                   ↑↑

ΟΟΟΔΔΔ                       ΟΟΟΔΔΔ

      ↑↑                                 ↑↑

ΟΟΟ√√√ΔΔΔ                 ΟΟΟ√√√ΔΔΔ

      ↑↑                                        ↑↑

ΟΔΔΔ                             ΟΔΔΔ

↑↑                                  ↑↑

ΟΟΟΔ                            ΟΟΟΔ

      ↑↑                                 ↑↑

二、应用

将所有二分都抽象为 O...OOXX...X 模型：

再根据具体题意来确定具体是找最后一个O, 还是找第一个X。

最后一个O：“往前找”

第一个X : “往后找”

1.  Find Minimum/ Maximum in Rotated Sorted Array：
pivot选择最重要：

 

升序 找最小（找图里的1）: 第一个X

选nums[nums.length - 1] ——> 这样才能找的到没rotate过的升序数组的最小值

升序 找最大 （找图里的6）： 最后一个O

pivot nums[0] ： 同理

2. 二分答案

3. Rotated Array

a. no duplicates:

　先判断mid左边还是右边， 然后在判断target，在mid左边还是右边。 pivot选择nums[end]

b. duplicates:

　这时 nums[mid] = pivot 的时候 并不能判断target在那边 [1,1,3,1] 和 [3,1,1], 所以只能将pivot左移一位， worst case: O(N)