【MX-X2-T6】「Cfz Round 4」Ad-hoc Master

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所以什么时候才能有，对上脑电波的能力啊。

下文中，令根节点的深度为 \(0\)。

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结论 \(1\)：对于 \(1 \leq k < h\)，所有 \(f_{u,k+1}\) 的异或和为深度为 \(k\) 的点权异或和

考虑证明，不妨对每个点 \(u\) 分别统计其产生的贡献：

• 若 \(d_u < k\)，此时考虑在没有跨越根的路径上，其能衍生出的子节点个数是 \(2\) 的倍数，对于跨越根的路径也同样可以，故 \(w_u\) 产生的贡献为 \(0\)

• 若 \(d_u = k\)，此时对于没有跨越根的路径同上，跨过根的路径部分长度为 \(1\)，产生的子节点个数一定为 \(1\)，故 \(w_u\) 产生的贡献为 \(w_u\)

• 若 \(d_u > k\)，此时路径必然不会跨过根，可能为奇数的点只有最高点和次高点，而这两个点的贡献同样能够抵消，故 \(w_u\) 产生的贡献为 \(0\)

也就是说，我们将所有的 \(f_{u,k+1}\) 异或起来，就可以得到 \(f_{root,k}\)。

将得到的 \(f_{root,k}\) 和其他节点进行对比，找到相同的则令为根节点。

考虑如何找到根节点，我们求出所有点权值的异或和，再异或根节点的所有信息即可。

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结论 \(2\)：与点 \(u\) 距离为奇数的点，要么是所有奇数层的点，要么是所有偶数层的点

这是显然的，直接黑白染色，两点之间路径必然颜色交替。

我们考虑将所有点距离为奇数的点权值异或和求出，再与根节点的对应信息异或。

此时，我们要么得到 \(0\)，这意味着该点可能与根节点同色，要么非 \(0\)，必然与根节点异色。

倘若非 \(0\)，黑点和白点的异或和为所有点权值的异或和。

倘若全为 \(0\)，则由于必然有异色点，所有点的点权异或和为 \(0\)。

于是我们解决了这道题，复杂度 \(O(\sum 2^h h)\)。

//Ad astra per aspera
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int f[100010][40],g[40];
void solve(){
	int h;
	scanf("%d",&h);
	int n=(1<<h)-1,k=2*h-2;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		g[i]=0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=k;j++){
			scanf("%d",&f[i][j]);
		}
		for(int j=1;j<h;j++){
			g[j]^=f[i][j+1];
		}
	}
	int root;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		bool flag=true;
		for(int j=1;j<=k;j++){
			if(f[i][j]!=g[j]){
				flag=false;
			}
		}
		if(flag){
			root=i;
		}
	}
	int w_root=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int num=0;
		for(int j=1;j<=k;j+=2){
			num^=g[j];
			num^=f[i][j];
		}
		w_root=max(w_root,num);
	}
	for(int i=1;i<h;i++){
		w_root^=g[i];
	}
	printf("%d %d\n",root,w_root);
}
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}