CF1109D Sasha and Interesting Fact from Graph Theory

CF1109D Sasha and Interesting Fact from Graph Theory

首先枚举 \(u\) 和 \(v\) 之间路径上的边数为 \(x\)。

接下来考虑边权分配。\(u\) 到 \(v\) 路径上的边权分配方法有 \(\dbinom{m-1}{x-1}\) 种。

相应的，\(u\) 到 \(v\) 路径外的边权分配方法有 \(m^{n-x-1}\) 种。

接下来考虑连接方式，选择路径上的点方法数为 \(\dbinom{n-2}{x-1} \times (x-1)!\)。

接下来考虑我们要将 \(n - x\) 个连通块连接，其中有一个连通块大小为 \(x+1\)。

根据 Cayley 公式的变体，容易发现方案数为 \(n^{n - x - 2} \times (x+1)\)。

对于所有的 \(x\) 统计即可，时间复杂度 \(O(n)\) 或 \(O(n \log n)\)。

//Ad astra per aspera
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const long long mod=1000000007;
long long pow_mod(long long num1,long long num2=mod-2){
	num1=(num1%mod+mod)%mod;
	num2=(num2%(mod-1)+(mod-1))%(mod-1);
	long long num3=1;
	while(num2){
		if(num2&1){
			num3=num3*num1%mod;
		}
		num1=num1*num1%mod;
		num2>>=1;
	}
	return num3;
}
const int V=1000000;
long long fact[1000010],invfact[1000010];
void init(){
	fact[0]=invfact[0]=1;
	for(int i=1;i<=V;i++){
		fact[i]=fact[i-1]*i%mod;
		invfact[i]=invfact[i-1]*pow_mod(i)%mod;
	}
}
long long C(int num1,int num2){
	if(num2<0  ||  num2>num1){
		return 0;
	}
	else{
		return fact[num1]*invfact[num2]%mod*invfact[num1-num2]%mod;
	}
}
int main(){
	init();
	int n,m,a,b;
	scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&a,&b);
	long long ans=0;
	for(int x=1;x<n;x++){
		long long pre=1;
		pre*=C(m-1,x-1);
		pre%=mod;
		pre*=pow_mod(m,n-x-1);
		pre%=mod;
		pre*=C(n-2,x-1);
		pre%=mod;
		pre*=fact[x-1];
		pre%=mod;
		pre*=pow_mod(n,n-x-2);
		pre%=mod;
		pre*=x+1;
		pre%=mod;
		ans+=pre;
		ans%=mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}