[IOI 2025] 纪念品

考虑 \(n\) 很小的情况。

假设 \(N=2\)，我们直接花 \(P_0 - 1\) 元购买纪念品即可。

假设 \(N=3\)，考虑仍然花 \(P_0 - 1\) 元购买纪念品，接下来：

• 买到了纪念品 \(1\)

此时我们可以算出 \(P_1\)，接下来连续两次花 \(P_1 - 1\) 元购买纪念品即可。

• 买到了纪念品 \(1\) 和纪念品 \(2\)

这一步极其关键，考虑接下来你只能购买纪念品 \(2\) 了，而你只知道 \(P_1 + P_2\)。

同时你又知道 \(P_1 > P_2\)，也就是说你需要找到一个 \([P_2,P_1)\) 中的数进行购买。

显然 \(\lfloor \dfrac{P_1 + P_2}{2} \rfloor\) 符合要求，我们使用这个价格购买即可。

考虑这个步骤里面很牛的部分，发现是 \(\lfloor \dfrac{P_1 + P_2}{2} \rfloor\)。

同时你发现还有一个很牛的点，我们花 \(P_i\) 元 可以恰好得到一个纪念品 \(i\)。

也就是说，我们需要确定所有的 \(P_i\)。

同时根据小数据，我们猜测使用 \(N-1\) 次操作即可确定所有的 \(P_i\)。

容易发现，我们花费 \(x \in [P_i,P_{i-1})\) 元购买纪念品，可以得到如下性质：

• 购买到的第一个纪念品是 \(i\) 号纪念品

也就是说，我们对于每个 \(i\) 都如上购买一次，就可以得到 \(N-1\) 个方程。

同时由于这些方程的性质，一定能得出一组解，且不会出现超出购买的情况。

接下来要做的就是，递归求解下去，复杂度能过。