并非弦论

Definitions

下文中，字符串的下标从 \(1\) 开始。

对于长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，取其第 \(l\) 个字符到第 \(r\) 个字符构成的子串记为 \(s:[l,r]\)。

对于长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，若 \(s:[1,p]=s:[n-p+1,n]\)，则 \(s:[1,p]\) 称为 \(s\) 的 Border。特别的，在这里 \(p\) 不应该为 \(n\)。

对于长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，若对于所有 \(i\) 均满足 \(s_i = s_{i+p}\)，则 \(p\) 为 \(s\) 的周期。若 \(p=n\)，则该周期是平凡的，下文中不考虑。

对于长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，若其周期 \(p\) 满足 \(p \mid n\)，则 \(p\) 为 \(s\) 的整周期。

Theorem 1

长度为 \(n\) 的字符串 \(s\) 具有周期 \(p\)，等价于 \(s\) 具有 Border \(s:[1,n-p]\)。

由定义可知，两者均等价于对于所有 \(i \in [1,n-p]\)，有 \(s_i = s_{i+p}\)。

Theorem 2

长度为 \(n\) 的字符串 \(s\) 具有周期 \(p,q\)，且 \(p+q \leq n\)，则 \(s\) 具有周期 \(\gcd(p,q)\)，这被称作弱周期引理。

长度为 \(n\) 的字符串 \(s\) 具有周期 \(p,q\)，且 \(p+q-\gcd(p,q) \leq n\)，则 \(s\) 具有周期 \(\gcd(p,q)\)，这被称作强周期引理。

给出弱周期引理的证明，这里我们不妨设 \(p \geq q\)。

对于 \(i > q\)，\(s_i = s_{i-q} = s_{i+p-q}\)。

对于 \(i \leq q\)，\(s_i = s_{i+p} = s_{i+p-q}\)。

也就是说 \(p-q\) 也是 \(s\) 的周期，不断辗转相减即可得到 \(\gcd(p,q)\)。

注意到过程中 \(p+q\) 会一直变小，\(i \leq q\) 部分的证明说明了为何需要 \(p+q \leq n\)。

Theorem 3

咕咕咕。