[ICPC 2021 Yokohama R] Cancer DNA

给定 \(m\) 个长度为 \(n\) 且由 \(\texttt{AGCT?}\) 五种字符组成的字符串 \(s_i\)。

你需要求出由 \(\texttt{AGCT}\) 四种字符组成的随机字符串，能够匹配 \(\{s_1,s_2,\dots,s_m\}\) 中的至少一个字符串的概率。

你的答案与实际答案相对误差不能超过 \(5 \%\)。

\(1 \leq n \leq 100\)，\(1 \leq m \leq 30\)。

这个问题看起来很不可做，考虑直接随机化。

我们每次随机一个字符串，可以在 \(O(nm)\) 的时间复杂度内求出每个字符串的匹配情况。

如果我们使用这种方法，相对误差会很大，这很不牛。

考虑答案更加准确的暴力。我们考虑钦定需要匹配的字符串，进行容斥即可，这样的时间复杂度是 \(O(nm \times 2^m)\) 的。

我们考虑将 \(m\) 个字符串分成两部分，对左右两边暴力做一遍，再减去同时匹配两边的概率。

这样就直接随机字符串了，准确率会大大提升。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<random> 
#include<ctime>
using namespace std;
mt19937 rnd(time(0));
char ch[40][110],tmp[110];
double ans[1<<15];
double p1,p2,p3;
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=0;i<m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>ch[i][j];
		}
	}
	int mid=m>>1;
	int l_len=mid,r_len=m-mid;
	for(int i=0;i<(1<<l_len);i++){
		int cnt=0;
		bool ok=true;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cnt++;
			int flag1=0,flag2=0,flag3=0,flag4=0;
			for(int k=0;k<l_len;k++){
				if(i&(1<<k)){
					if(ch[k][j]=='A'){
						flag1=1;
					}
					if(ch[k][j]=='G'){
						flag2=1;
					}
					if(ch[k][j]=='C'){
						flag3=1;
					}
					if(ch[k][j]=='T'){
						flag4=1;
					}
				}
			}
			if(flag1+flag2+flag3+flag4>1){
				ok=false;
			}
			else if(flag1+flag2+flag3+flag4==0){
				cnt--;
			}
		}
		if(!ok){
			ans[i]=0;
		}
		else{
			ans[i]=1;
			for(int j=1;j<=cnt;j++){
				ans[i]/=4;
			}
		}
		if(i){
			double cmd=-1;
			for(int j=0;j<l_len;j++){
				if(i&(1<<j)){
					cmd*=-1;
				}
			}
			p1+=ans[i]*cmd;
		}
	}
	for(int i=0;i<(1<<r_len);i++){
		int cnt=0;
		bool ok=true;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cnt++;
			int flag1=0,flag2=0,flag3=0,flag4=0;
			for(int k=0;k<r_len;k++){
				if(i&(1<<k)){
					if(ch[k+mid][j]=='A'){
						flag1=1;
					}
					if(ch[k+mid][j]=='G'){
						flag2=1;
					}
					if(ch[k+mid][j]=='C'){
						flag3=1;
					}
					if(ch[k+mid][j]=='T'){
						flag4=1;
					}
				}
			}
			if(flag1+flag2+flag3+flag4>1){
				ok=false;
			}
			else if(flag1+flag2+flag3+flag4==0){
				cnt--;
			}
		}
		if(!ok){
			ans[i]=0;
		}
		else{
			ans[i]=1;
			for(int j=1;j<=cnt;j++){
				ans[i]/=4;
			}
		}
		if(i){
			double cmd=-1;
			for(int j=0;j<r_len;j++){
				if(i&(1<<j)){
					cmd*=-1;
				}
			}
			p2+=ans[i]*cmd;
		}
	}
	for(int i=1;i<=1000000;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			tmp[j]="AGCT"[rnd()%4];
		}
		bool flag1=false,flag2=false;
		for(int j=0;j<m;j++){
			bool flag=true;
			for(int k=1;k<=n;k++){
				if(ch[j][k]!='?'  &&  ch[j][k]!=tmp[k]){
					flag=false;
				}
			}
			if(flag){
				if(j<mid){
					flag1=true;
				}
				else{
					flag2=true;
				}
			}
		}
		if(flag1  &&  flag2){
			p3+=0.000001;
		}
	}
	cout<<p1+p2-p3;
	return 0;
}