Luogu P9477 [_-0 C] 猜数

交互题。

评测机会在 \([1,10^{18}]\) 中随机选择一个整数 \(x\)，你需要在不超过 \(q\) 次询问内猜出 \(x\)。

每次你可以询问一个整数 \(y\)，询问 \(y\) 与 \(x\) 的大小关系。

特别的，评测机会有 \(p \%\) 的概率会出错。

子任务编号	子任务分值	\(p=\)	\(q=\)	时间限制
\(1\)	\(5\)	\(0\)	\(60\)	\(\texttt{1s}\)
\(2\)	\(10\)	\(10\)	\(500\)	\(\texttt{1s}\)
\(3\)	\(10\)	\(25\)	\(2000\)	\(\texttt{1s}\)
\(4\)	\(15\)	\(25\)	\(1000\)	\(\texttt{1s}\)
\(5\)	\(20\)	\(25\)	\(700\)	\(\texttt{1s}\)
\(6\)	\(10\)	\(25\)	\(400\)	\(\texttt{1s}\)
\(7\)	\(10\)	\(40\)	\(2500\)	\(\texttt{1s}\)
\(8\)	\(10\)	\(45\)	\(10000\)	\(\texttt{1s}\)
\(9\)	\(5\)	\(48\)	\(62500\)	\(\texttt{3s}\)
\(10\)	\(5\)	\(49\)	\(250000\)	\(\texttt{10s}\)

令 \(P = p \%\)。

我们不妨令答案为 \(i\) 的概率为 \(p_i\)，则初始时 \(p_i = \dfrac{1}{10^{18}}\)。

考虑当前询问对 \(p_i\) 造成的影响。

首先，对于 \(y = x\) 的询问，我们此时已经知道答案了，可以直接返回。

\(y < x\) 和 \(y > x\) 是对称的，接下来考虑评测机回答 \(y < x\) 的情况。

此时，有 \(1-P\) 的概率满足 \(y < x\)，有 \(P\) 的概率满足 \(y > x\)，直接乘上概率即可。

但是，直接维护 \(p_i\) 很不方便，考虑维护 \(q_i\) 使得 \(q_i\) 与 \(p_i\) 成比例，则可以看成：

• 对于 \(i < y\)，\(q_i \leftarrow P \times q_i\)。

• 对于 \(i = y\)，\(q_i \leftarrow 0\)。

• 对于 \(i > y\)，\(q_i \leftarrow (1-P) \times q_i\)。

初始时令 \(q_i = 1\) 即可。

然而我们发现，这样做会有很大的精度误差，考虑整体除以 \(1-P\)，则过程等价于：

• 对于 \(i < y\)，\(q_i \leftarrow \dfrac{P}{1-P} \times q_i\)。

• 对于 \(i = y\)，\(q_i \leftarrow 0\)。

最后回答 \(q_i\) 最大的 \(i\) 即可，接下来考虑如何选取询问的 \(y\)。

容易想到每次询问的 \(y\) 要使左右两边的 \(q_i\) 之和尽量接近。

这样的话，无论回答 \(<\) 和 \(>\) 都能保持较为平均的情况。

考虑这个做法的正确性，直观感受上他很对，事实上他也很对，证明不会。

你发现最后没有必要找 \(q\) 最大的位置，直接按照上面的过程一个一个问即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
#define double long double
long long n;
int tot=1;
struct Node{
	long long l,r,lc,rc;
	double sum,maxn,tag;
}a[10000010];
void build(int id,long long l,long long r){
	a[id].l=l;
	a[id].r=r;
	a[id].sum=r-l+1;
	a[id].maxn=1;
	a[id].tag=1;
}
void pushdown(int id){
	long long mid=(a[id].l+a[id].r)/2;
	if(!a[id].lc){
		a[id].lc=++tot;
		build(a[id].lc,a[id].l,mid);
	}
	if(!a[id].rc){
		a[id].rc=++tot;
		build(a[id].rc,mid+1,a[id].r);
	}
	a[a[id].lc].sum*=a[id].tag;
	a[a[id].lc].maxn*=a[id].tag;
	a[a[id].lc].tag*=a[id].tag;
	a[a[id].rc].sum*=a[id].tag;
	a[a[id].rc].maxn*=a[id].tag;
	a[a[id].rc].tag*=a[id].tag;
	a[id].tag=1;
}
void pushup(int id){
	a[id].sum=a[a[id].lc].sum+a[a[id].rc].sum;
	a[id].maxn=max(a[a[id].lc].maxn,a[a[id].rc].maxn);
}
long long query(int id,double num){
	if(a[id].l==a[id].r){
		return a[id].l;
	}
	pushdown(id);
	if(a[a[id].lc].sum>=num){
		return query(a[id].lc,num);
	}
	else{
		return query(a[id].rc,num-a[a[id].lc].sum);
	}
}
void modify(int id,long long l,long long r,double num){
	if(l<=a[id].l  &&  a[id].r<=r){
		a[id].sum*=num;
		a[id].maxn*=num;
		a[id].tag*=num;
		return ;
	}
	pushdown(id);
	if(l<=a[a[id].lc].r){
		modify(a[id].lc,l,r,num);
	}
	if(a[a[id].rc].l<=r){
		modify(a[id].rc,l,r,num);
	}
	pushup(id);
}
int main(){
	int p,q;
	cin>>n>>p>>q;
	double k=p/(100.0-p);
	build(1,1,n);
	while(q--){
		long long y=query(1,a[1].sum/2.0);
		cout<<y<<endl;
		char ch;
		cin>>ch;
		if(ch=='<'){
			if(y>1){
				modify(1,1,y-1,k);
			}
			modify(1,y,y,0);
		}
		else if(ch=='>'){
			if(y<n){
				modify(1,y+1,n,k);
			}
			modify(1,y,y,0);
		}
		else{
			break;
		}
	}
    return 0;
}

交了几发，平均下来只会错一个点，正确率还行。