ARC062F Painting Graphs with AtCoDeer

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的简单无向图 \(G\)，你需要为每条边染 \(1\) 到 \(k\) 中的一种颜色。

我们定义一次操作为，选择 \(G\) 中的一个简单环，将环上的边进行循环移动。

定义 \(G_1\) 与 \(G_2\) 本质相同，当且仅当 \(G_1\) 能在若干次操作后与 \(G_2\) 相同。

求本质不同的涂色方案数量，对 \(10^9+7\) 取模。

\(1 \leq n \leq 50\)，\(1 \leq m \leq 100\)，\(1 \leq k \leq 100\)。

考虑简单环上循环移动的性质，容易发现如下事实：

• 若两个简单环有公共边，则其内部的边可以任意排列。

我们只需要实现交换两条边即可，你发现其实此时有两个小环和一个大环可以操作，这一步是容易构造方法的，虽然我不会就是了。

接下来我们就可以找到每个点双。

若点双中没有环，每条边都会产生 \(k\) 的贡献。

若点双恰好为一个环，等价于环染色，使用 Pólya 定理即可。

若点双包含 \(\geq 2\) 个环，则两种方案等价当且仅当每种颜色的出现次数相同，我们统计这个组合可以使用插板法。

结束了。

代码大概是东拼西凑的所以有点乱。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
const long long mod=1000000007;
vector<int> G[60],dcc[60];
int low[60],dfn[60],seq,tot,root;
bool cut[60];
stack<int> st;
void tarjan(int u){
	low[u]=dfn[u]=++seq;
	if(u==root  &&  G[u].empty()){
		return ;
	}
	st.push(u);
	int child=0;
	for(int i=0;i<G[u].size();i++){
		int v=G[u][i];
		if(!dfn[v]){
			child++;
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]==dfn[u]){
				if(u!=root  ||  child>1){
					cut[u]=true;
				}
				tot++;
				while(true){
					int pre=st.top();
					st.pop();
					dcc[tot].push_back(pre);
					if(pre==v) break;
				}
				dcc[tot].push_back(u);
			}
		}
		else{
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
}
long long pow_mod(long long num1,long long num2=mod-2){
	num1=(num1%mod+mod)%mod;
	num2=(num2%(mod-1)+(mod-1))%(mod-1);
	long long num3=1;
	while(num2){
		if(num2&1){
			num3=num3*num1%mod;
		}
		num1=num1*num1%mod;
		num2>>=1;
	}
	return num3;
}
bool graph[60][60];
long long fact[210],invfact[210];
long long my_gcd(long long x,long long y){
	while(y){
		long long z=x%y;
		x=y;
		y=z;
	}
	return x;
}
int main(){
	fact[0]=invfact[0]=1;
	for(int i=1;i<=200;i++){
		fact[i]=fact[i-1]*i%mod;
		invfact[i]=invfact[i-1]*pow_mod(i)%mod;
	}
	int n,m;
	long long k;
	scanf("%d %d %lld",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%d %d",&u,&v);
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
		graph[u][v]=graph[v][u]=true;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i]){
			root=i;
			tarjan(i);
		}
	}
	long long ans=1;
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		int cnt_1=0,cnt_2=0;
		for(int j=0;j<dcc[i].size();j++){
			cnt_1++;
			for(int k=j+1;k<dcc[i].size();k++){
				if(graph[dcc[i][j]][dcc[i][k]]){
					cnt_2++;
				}
			}
		}
		if(cnt_1>cnt_2){
			ans*=k;
			ans%=mod;
		}
		else if(cnt_1==cnt_2){
			long long pre=0;
			for(int j=0;j<cnt_1;j++){
				pre+=pow_mod(k,my_gcd(j,cnt_1));
			}
			ans*=pre*pow_mod(cnt_1)%mod;
			ans%=mod;
		}
		else{
			ans*=fact[cnt_2+k-1]*invfact[cnt_2]%mod*invfact[k-1]%mod;
			ans%=mod;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}