[CSP-S 2025] 员工招聘

他钦定自己能进省队。

你钦定这个人能选上。

我钦定我就是个废物。

我们都有光明的未来。

\(n\) 个人来面试，你可以任意安排面试顺序。

第 \(i\) 天的面试难度为 \(s_i\)。\(s_i=0\) 表示第 \(i\) 天的面试难度过高，没有人能够通过。\(s_i=1\) 表示第 \(i\) 天的面试难度过低，所有人都能通过。

第 \(i\) 个人有一个耐心值 \(c_i\)，若在他面试前有至少 \(c_i\) 个人未通过面试或放弃面试，则他会放弃面试。

求至少 \(m\) 人通过面试的方案数，对 \(998244353\) 取模。

\(1 \leq m \leq n \leq 500\)，\(0 \leq c_i \leq n\)。

洛谷题解*学*，jiangly *学*，钦定*学*，*学**学*。

我们先钦定每天的人是否录取，设 \(x_i\) 表示前 \(i\) 天未录取的总人数，容易发现 \(x\) 是不降的。

• 对于 \(s_i=0\)，当天一定不会录取，任选一人放上去即可。

• 对于 \(s_i=1\)，进行分讨。

  • 如果这一天需要录取，则当天的人需要满足 \(c > x_{i-1}\)。

  • 如果这一天不需要录取，则当天的人需要满足 \(c \leq x_{i-1}\)。

考虑容斥。我们将 \(c_j > x_{i-1}\) 拆成任选一人后除去 \(c_j \leq x_{i-1}\) 的情况，这样就变得方便了。

钦定有什么好处？问题中，对于未钦定的人是可以人选的，所以我们只在钦定时区分所有人。

假设最后钦定了 \(k\) 人，则剩下 \(n-k\) 人的排列顺序可以随便选，将答案乘以 \((n-k)!\) 即可。

事实上，我们只关心这 \(k\) 人的位置及顺序，别的人我们最后处理。

接下来我们考虑 dp。设 \(d_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 天有 \(j\) 人未录取，且你钦定了 \(k\) 人，总共的方案数。

这里的 \(j\) 就是上面的 \(x_i\) 对吧。

我们考虑 \(d_{i,j,k}\) 能够转移到哪里。

• 对于 \(s_{i+1}=0\)，这里不需要区分人，\(d_{i+1,j+1,k} \leftarrow d_{i+1,j+1,k} + d_{i,j,k}\)。

• 对于 \(s_{i+1}=1\)，分讨。

  • 假设第 \(i+1\) 天需要录取，进行容斥。

    • 考虑任选一个人，则 \(d_{i+1,j,k} \leftarrow d_{i+1,j,k} + d_{i,j,k}\)。

    • 接下来考虑钦定一个 \(c \leq j\) 的人，则 \(d_{i+1,j,k+1} \leftarrow d_{i+1,j,k+1} - T \times d_{i,j,k}\)。

  • 假设第 \(i+1\) 天不需要录取，钦定一个 \(c \leq j\) 的人，则 \(d_{i+1,j+1,k+1} \leftarrow d_{i+1,j+1,k+1} + T \times d_{i,j,k}\)。

你注意到上文有一个神秘数字 \(T\) 还没有说明。是这样的，\(T\) 表示当前还能选出多少个 \(c_j \leq x_i\) 的人。

你考虑如果我们不使用这个 trick，我们并不能知道当前还有哪些人能选。

但是钦定了就不一样。考虑 \(x\) 是单调不降的，这意味着在你的状态里 \(j\) 也是单调不降的。

然后你就会发现你前面钦定的所有人一定会占用后面的名额。

假设 \(a_x\) 表示满足 \(c \leq x\) 的人数，则 \(T=a_j-k\) 对吧。

最后答案就是 \(\sum\limits_{j=0}^{n-m}\sum\limits_{k} d_{n,j,k} \times (n-k)!\)。

然后你发现做完了，操。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int a[510],fact[510],d[510][510][510];
char ch[510];
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>ch[i];
		fact[i]=(long long)fact[i-1]*i%mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int c;
		scanf("%d",&c);
		a[c]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]+=a[i-1];
	}
	d[0][0][0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<=i;j++){
			for(int k=0;k<=i;k++){
				if(ch[i+1]=='0'){
					d[i+1][j+1][k]+=d[i][j][k];
					d[i+1][j+1][k]=(d[i+1][j+1][k]%mod+mod)%mod;
				}
				else{
					d[i+1][j][k]+=d[i][j][k];
					d[i+1][j][k]=(d[i+1][j][k]%mod+mod)%mod;
					int T=a[j]-k;
					d[i+1][j][k+1]-=(long long)T*d[i][j][k]%mod; 
					d[i+1][j][k+1]=(d[i+1][j][k+1]%mod+mod)%mod;
					d[i+1][j+1][k+1]+=(long long)T*d[i][j][k]%mod; 
					d[i+1][j+1][k+1]=(d[i+1][j+1][k+1]%mod+mod)%mod;
				}
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int j=0;j<=n-m;j++){
		for(int k=0;k<=n;k++){
			ans+=(long long)d[n][j][k]*fact[n-k]%mod;
			ans=(ans%mod+mod)%mod;
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

知道这个东西之后这一题有什么难点吗。

哦好吧我不知道而且我这一年惨败。

甚至在对着题解的情况下这道题也过了几个月才补掉。

哦我是废物啊那没关系了。

好吧说点今年打 OI 的感想吧。

从上半年打完省选之后就是一段低谷，或许也是在给我以前考试的 rp 背锅。

CSP-S 初赛考的貌似还好，然而到了复赛就惨败了。

T1 当时看了不知所云，做了一个半小时，赛后发现是黄题自闭了。

接下来在 T2 和 T3 来回横跳最后选择先写 T3 再写 T2。

过了前三题*样例之后打 T4 暴力，然后比赛结束了。

出考场以为自己这把还行，结果接下来就看到一堆言论。

比如说 T2 复杂度说是 \(O(2^k n)\) 才能过然而我写的是一个不知所云的东西。

我也不知道多了几个 \(k\) 但是他就是很悬，虽然最后过了就是。

比如说 T1 都是一堆反悔贪心只有我写了一个奇怪的一次调整做法。

虽然最后这个做法好像能过但是我并不知道他对不对。

比如说 T3，赛后在 LA 群看到一堆 Hash 配 Trie 或者是 AC 自动机的做法。

然而我是在 Trie 上暴力的，场上认为自己这个复杂度很对，毕竟*样例都跑过了。

然而我这样暴力的复杂度是和答案相关的，于是我 T 了。

然后 T4，本来以为自己拿到状压就是极限了。

结果最后发现只要再多一个输出 \(0\) 就能多拿 \(4\) 分。

倒闭了，然而你还有 NOIP 要打。

中途打了若干比赛，状态都不是特别理想。

然后就 NOIP 了，本来以为自己能够考好。

结果遇到今年的题目，真的彻底倒闭了。

平时考的比我差的这次比我好，平时比我好的早就甩我一两百分了。

你发现今年的 NOIP 是这样的，平时水平不高喜欢打暴力的这次看到题目难直接去拼好分了，平时水平很高的早就过穿了。

只有我这种又菜又爱玩的在那冲一整场 T2 然后不知所云最后暴力都没拿的。

也许今年就该在这里结束了吧。

接下来迎来了这一年最后一场比赛，THUPC 初赛。

本来都不指望参加的，结果赛前一天晚上家长给随机匹配到队友了。

第二天混了个 rk600，感觉挺有教育意义的一个名次。

然而不知道查重之后能拿多少名，所以挺难受的。

*概是什么感觉呢，你是班里的倒数第一，别人都注意到你了。

然后突然就转来几个混混抢了你的倒数第一，然后没人记住你了。

总之就是，今年输完了。

气笑了，明年再战。