NTT 学习笔记

引入

\(\tt NTT\) 和 \(\tt FFT\) 有什么不一样呢？
就是 \(\tt NTT\) 是可以用来取模的，而且没有复数带来的精度误差。
最最重要的是据说 \(\tt NTT\) 常数小的很，可以在这一方面吊打 \(\tt FFT\) 。

至于对于不用取模的多项式乘法怎么做，可以给他附一个非常大的模数。
但是如果遇到有非整数的系数的多项式还是只能看 \(\tt FFT\) 了。

正文

\(\tt NTT\) 的前置知识比 \(\tt FFT\) 的要简单的多。

原根

对于 \(p\) 和 \(g\) 两个整数，若

\[g^i\ \text{mod} \ g\ (1\leq i\leq p -1) \]

这个式子的值都不相同，那么 \(g\) 是 \(p\) 的原根。
通常 \(\tt NTT\) 的题目会给 \(998244353\) , \(1004535809\) , \(469762049\) 这几个模数。
他们的原根都是 \(3\) 。

但是这个我嫌不够过瘾，所以就放一个在网上找到的牛逼原根表。

//（g 是mod(r*2^k+1)的原根）

素数  r  k  g
3   1   1   2
5   1   2   2
17  1   4   3
97  3   5   5
193 3   6   5
257 1   8   3
7681    15  9   17
12289   3   12  11
40961   5   13  3
65537   1   16  3
786433  3   18  10
5767169 11  19  3
7340033 7   20  3
23068673    11  21  3
104857601   25  22  3
167772161   5   25  3
469762049   7   26  3
1004535809  479 21  3
2013265921  15  27  31
2281701377  17  27  3
3221225473  3   30  5
75161927681 35  31  3
77309411329 9   33  7
206158430209    3   36  22
2061584302081   15  37  7
2748779069441   5   39  3
6597069766657   3   41  5
39582418599937  9   42  5
79164837199873  9   43  5
263882790666241 15  44  7
1231453023109121    35  45  3
1337006139375617    19  46  3
3799912185593857    27  47  5
4222124650659841    15  48  19
7881299347898369    7   50  6
31525197391593473   7   52  3
180143985094819841  5   55  6
1945555039024054273 27  56  5
4179340454199820289 29  57  3

转载 这篇博客的 。

\(\tt NTT\)

其实 \(\tt NTT\) 就是把原根替换 \(\tt FFT\) 中的单位根。

\(\tt FTT\) 之所以牛逼，是因为 \(\omega\) 有一些非常奇妙的性质。
然后神仙们发现其实原根也有非常牛逼的性质。

当此时的合并区间的长度为 \(L=2\times l\) 时
单位根是

\[\cos\frac{2\pi}{L}+i\times\sin\frac{2\pi}{L}=\cos\frac{\pi}{l}+i\times\sin\frac{\pi}{l} \]

而原根是：

\[g^{\frac{p-1}{L}}=g^{\frac{p-1}{2\times l}} \]

其他和 \(\tt FFT\) 就基本没有什么区别了。

inline void NTT(int a[], int len, int inv) {
  int bit = 0;
  while ((1 << bit) < len) ++bit;
  for (int i = 0; i <= len - 1; i++) {
    rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (bit - 1));
    if (i < rev[i]) std::swap(a[i], a[rev[i]]);
  }
  for (int mid = 1; mid < len; mid *= 2) {
    int tmp = power(g, (mod - 1) / (mid * 2)); 
    if (inv == -1) tmp = power(tmp, mod - 2); 
    for (int i = 0; i < len; i += mid * 2) {
      int omega = 1;
      for (ll j = 0; j < mid; ++j, omega = omega * tmp % mod) {
        int x = a[i + j];
        int y = omega * a[i + j + mid] % mod;
        a[i + j] = (x + y) % mod;
        a[i + j + mid] = (x - y + mod) % mod;
      }
    }
  }
}

这个代码也不是我原创的，在网上随便贺了一篇代码。
调用的话就和 \(\tt FFT\) 基本上一模一样。