数学公式 Latex 练习

\[1+x+x^2+x^3+\cdots=\frac{1}{1-x}\quad x\in(-1, 1) \]

证明：设左边式子项数为 \(n\) 那么可以得到：

\[\begin{split} S &= 1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{n-1}+x^n\\ xS&=x + x^2+x^3+x^4+\cdots+x^n+x^{n+1}\\ \end{split}\\ (x-1)S=x^{n+1} - 1\\ S=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\\ \because x \in (-1, 1)\quad n\rightarrow \infty\\ \therefore x^{n+1} \rightarrow 0\quad S \rightarrow \frac{1}{1-x} \]

同理

\[1+x^2+x^4+x^6+\cdots=\frac{1}{1-x^2}\quad x\in(-1, 1) \]

同时我们可以发现：

\[1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=(1+x+x^2+x^3+\cdots)\times (1+x+x^2+x^3+\cdots)\\ \therefore 1+2x+3x^2+4x^3+\cdots=\frac{1}{(1-x)^2}\quad x\in(-1, 1) \]

所以公式是 ：

\[\sum_{i=1}^\infty C_{i+k-1}^{k-1}x^i = \frac{1}{(1-x)^k} \]