行列式学习笔记（一）
什么是行列式
教科书对二阶行列式的定义是这样的。
对于一个二元一次方程组：
\[\begin{cases}
a_{11}x + a_{12}y = b_1\\
a_{21}x + a_{22}y = b_2
\end{cases}
\]
经过消元可以得到：
\[(a_{12}a_{21}-a_{22}a_{11})y=a_{21}b_1-a_{11}b_2
\]
\(x\) 的解同理可得。
我们发现当 \(a_{12}a_{21} \neq a_{22}a_{11}\) 方程有唯一解。
这时我们这样来表示 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)：
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}\\
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]
所以我根本没有搞懂有什么用。
下面来介绍一种比较好懂的理解方法。
我们知道“ 矩阵可以表示一组向量，方阵表示 \(n\) 个 \(n\) 维向量 ”。
也就是每行看成一个向量，竖着把所有向量合并可以确定一个 \(n\) 维的图形。
来张二维的图看一看：
我们的二阶行列式在上图中就表示平行四边形的面积。
当然，二维是面积，三维是体积，四维是 ？？？ ……
上面这个平行四边形面积可以表示为：
\[\det A = \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix}
\]
注意到，每一行都对应上图中的一个向量。
行列式的求法
我们从小学数学入手，先求上述平行四边形的面积（辅助线做法省略）
\[\begin{split}
S_{平行四边形} &=(a+c)(b+d)-2bc-cd-ab \\
&=ad-bc\\
&=\det A
\end{split}\\
\]
也就是：
\[\begin {vmatrix}
a &b \\
c &d \\
\end {vmatrix} = ad-bc
\]
行列式的基本性质
下面以二阶行列式展开讨论。
性质一
\[\det I = 1
\]
\(I\) 表示单位矩阵，这很好理解：
所有向量都是 “横平竖直” 且长度都是一，面积一定是 \(1\)。
性质二
交换行列式的两行，则行列式的值取反。
用数学公式表示：
\[\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix}=
-\begin{vmatrix}
c &d\\
a & b\\
\end{vmatrix}
\]
证明很简单：
\[\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix} = ad-bc\\
\]
\[\begin{split}
\begin{vmatrix}
c &d\\
a & b\\
\end{vmatrix}&=bc-ad\\
&=-(ad-bc)\\
&=-\begin{vmatrix}
c &d\\
a & b\\
\end{vmatrix}
\end{split}
\]
性质三
直接用数学公式表达吧。（语文不行）
\[\begin{vmatrix}
ka & kb\\
c &d\\
\end{vmatrix}
=k \begin{vmatrix}
a & b\\
c &d\\
\end{vmatrix}
\]
简单证明一下吧。
\[\begin{split}
\begin{vmatrix}
ka & kb\\
c &d\\
\end{vmatrix}
&= kad-kbc\\&=k(ad-bc)
\end{split}
\]
注意：\(\det (kA) \neq k\det (A)\)
对于二阶行列式：
\[\begin{split}
\det (kA) &=
\begin {vmatrix}
ka &kb\\
kc & kd\\
\end {vmatrix}\\
&=ka\times kd - kc \times kb\\
&=k^2(ad-bc)\\
&=k^2
\begin{vmatrix}
a &b\\
c & d\\
\end {vmatrix}=k ^2\det (A)
\end {split}
\]
由此可以推出，对于 \(n\) 阶的行列式：
\[\det (kA)=k^n\det (A)
\]
性质四
方阵的某一行加上一行数，则有：
\[\begin{vmatrix}
a+a' & b + b'\\
c & d\\
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a' & b'\\
c & d\\
\end{vmatrix}
\]
证明一下：
\[\begin{split}
\begin{vmatrix}
a+a' & b + b'\\
c & d\\
\end{vmatrix}
&=(a+a')d-c(b+b')\\
&=ad+a'd-cb-cb'\\
&=(ad-bc)+(a'd-b'c)\\
&= \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a' & b'\\
c & d\\
\end{vmatrix}
\end{split}
\]
