组合计数

Part 1

Lucas 定理

有一个推论：当且仅当 \(n \And m = m\)，即在二进制下 \(m \subseteq n\) 时，\(\binom{n}{m}\) 为奇数。

Part 2

CF660E Different Subsets For All Tuples

显然是对于每个子序列独立算贡献，问题在于如何不重复地计算，容易发现只要每个子序列都算第一次出现的位置就好了，等价于子序列中每个位置，对应原序列中每个位置前没有和他相同的数值（否则可以向前移）。于是枚举长度 \(i\)，在原序列中的末位置 \(j\)，由于第 \(j\) 个位置是强制选择的，答案是 \(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} \binom{j-1}{i-1} (m-1)^{j-i} m^{n-j+i}\)。然后变换到二项式定理的形式即可。