2026-3

P9433 [NAPC-#1] Stage5 - Conveyors

对于关键点整体遍历的操作，容易想到合并成连通块。记录两点间的距离为 \(dist\)，走一遍连通块（即为连通块的边权和）的代价为 \(sum\)。

• 若在连通块内，代价为 \(2\times sum - dist\)。
• 若在连通块外，跳到最近的连通块的代价 \(cost_1\) 与 \(cost_2\)，代价即为 \(2\times sum - dist + cost1 + cost2\)。

对于第二种情况，一种简便的实现是令连通块的一个点为根，则对于每个非连通块点，向上跳若干次即可，并不需要考虑向下跳。可以 \(log_2 n\) 倍增实现。

MX P130501 B.tree

输麻了，以为是数数，赛时一直在考虑刻画每个点的奇偶状态，实际上确实做不到。
警示我们：难以刻画的状态不一定有用，有些情况下每种状态的权值是类似的。
从 DFS 生成树的角度考虑，我们记 \(a_1 \sim a_n\)，\(a_i = 0/1\) 表示第 \(i\) 个节点的奇偶性。
考虑构造一组合法方案。事实上所有 \(a_i\) 的取值都可以取到，因为从生成树，从下往上考虑，根据钦定的儿子的奇偶性，来对比目前的奇偶性，若不符则可以翻转其到父亲的边；并且对于根节点，从奇数点的个数一定为偶数上考虑，其一定是合法的。
同样，对于不在生成树内的边，每一种的选取方案均可以通过上述构造，满足 奇数的点的个数。于是每种方案个数相同，系数为 \(2^{b - a + 1}\)。最后乘上组合系数。

MX P130502 C.graph

思考如何刻画状态。这其实很套路，但是我没想到。
每个局面，看做拆分数的形式。注意到 \(40\) 以内的拆分数，数量级为 \(3 \times 10^4 \sim 4 \times 10^4\)，完全可以记录。
然后模仿 Kruskal 的加边形式，每次 \(O(n^2)\) 枚举新增的边，同时乘上始终不在 MST 中的边的贡献即可。