生成函数学习笔记

牛顿二项式定理

$\dbinom{n}{m} = \begin{cases} \frac{ n^{ \underline{m} } }{ m! } & m \ge 0 \\ 0 & m < 0 \end{cases} (n \in \mathbb{R}, m \in \mathbb{Z})$

其中 $n^{ \underline{m} } = \prod\limits_{i = 1}^{m} (n - i + 1)$，特别地，$n^{ \underline{0} } = 1$。

有 $(x + y)^r = \sum\limits_{k} \binom{r}{k} x^{ r - k } y^k$

证明：

当 $x = y$ 时，显然有 $(x + y)^r = (2x)^r = 2^r x^r = \sum\limits_{k} \binom{r}{k} x^r = \sum\limits_{k} \binom{r}{k} x^{ r - k } y^{k}$。

当 $x \not= y$ 时，假设 $x > y$，则有 $(x + y)^r = x^r ( 1 + \frac{y}{x} )^r$，则有 $\frac{y}{x} < 1$，可证明 $( 1 + \frac{y}{x} )^r$ 在无穷远处收敛，则泰勒展开得 $( 1 + \frac{y}{x} )^r = \sum\limits_{k} \binom{r}{k} (\frac{y}{x})^k$，所以两边同乘 $x^r$ 得 $(x + y)^r = \sum\limits_{k} \binom{r}{k} x^{r - k} y^k$。

基础生成函数

前置知识：多项式相关，微积分相关。

OGF，全称 ordinary generating function，普通生成函数。

一般用于处理 无标号体系 。

展开形式形如 $F(x) = \sum\limits_{n \ge 0} f_n x^n$，其中 $f$ 是系数序列，注意 $f$ 可以是有穷序列，也可以是无穷序列。

形象理解是一个背包，$f_n x^n$ 的意义是选了总重为 $n$ 的物品时的方案数。

两个 OGE 的加法即对应项系数相加。

两个 OGF 的乘法定义为卷积，即 $H(x) = F(x) \times G(x) \Longleftrightarrow h_n = \sum\limits_{x + y = n, x \ge 0, y \ge 0} f_x g_y$。

也可理解为两个背包的合并。

常用 OGF：

$F(x) = \sum\limits_{n \ge 0} x^n \Leftrightarrow F(x) = \dfrac{1}{1 - x}$

证明：$F(x) = 1 + x F(x) \Rightarrow (1 - x) F(x) = 1 \Rightarrow F(x) = \dfrac{1}{1 - x}$

同理，有 $F(x) = \sum\limits_{n \ge 0} x^{an} \Leftrightarrow F(x) = \dfrac{1}{1 - x^a}$，$F(x) = \sum\limits_{n \ge 0} a^n x^n \Leftrightarrow F(x) = \dfrac{1}{1 - ax}$ 等。

$F(x) = \sum\limits_{n \ge 0} \binom{n + m - 1}{m - 1} x^n \Leftrightarrow F(x) = \dfrac{1}{ (1 - x)^m }$

证明 1：考虑组合意义，$x^n$ 项系数即将 $n$ 拆成 $m$ 个自然数有序地相加的形式的方案数，与背包对应，即 $m$ 个形如 $G(x) = \sum\limits_{n \ge 0} x^n$ 的生成函数相乘，即 $(G(x))^m$，用其收敛形式代入则得 $F(x) = (G(x))^m = (\dfrac{1}{1 - x})^m = \dfrac{1}{ (1 - x)^m }$。

证明 2：考虑对 $\sum\limits_{n \ge 0} x^n = \dfrac{1}{1 - x}$ 两边同求 $m - 1$ 次导，得 $\sum\limits_{n \ge 0} (n + m - 1)^{ \underline{m - 1} } x^n = \dfrac{ (m - 1)! }{ (1 - x)^m } \Rightarrow \sum\limits_{n \ge 0} \binom{n + m - 1}{m - 1} x^n = \dfrac{1}{ (1 - x)^m }$。

$F(x) = - \ln(1 - x^z) \Leftrightarrow F(x) = \sum\limits_{n \ge 1} \dfrac{ x^{nz} }{n}$

证明：左式两边同求导得：$F'(x) = \dfrac{ z x^{z - 1} }{1 - x^z}$

积一下：$F(x) = \int x^{z - 1} \dfrac{z}{1 - x^z} = \int \sum\limits_{n \ge 1} z x^{nz - 1} = \sum\limits_{n \ge 1} \dfrac{ x^{nz} }{n}$。