5.18作业选讲

1. [ABC256Ex] I like Query Problem

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解法1

势能线段树。

维护区间最大值 $x$ 和最小值 $y$，如果某个区间 $x=y$ 则直接整除并打上标记，由于一个数字至多整除 $\log{w}$ 次就变成 $0$，而一次区间推平操作至多把 $O(\log{n})$ 个区间推平，所以总复杂度为 $O(n \log{n} \log{w})$。

解法2

个人解法，不喜误喷（

分块珂朵莉树，具体解法详见洛谷题解区。

 

2. CF1270E Divide Points

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首先观察发现只有黄蓝两种边，不难想到奇偶性分类。

所以将 $x, y$ 坐标和为偶数的分为一组（记为黑点），和为奇数的分为另一组（记为白点），则组内连边长度的平方为偶数，组间连边长度的平方为奇数，能满足题目要求。

但题目要求黑白点都要有，而输入可能只有黑/白点。

所以考虑调整。

如果全是黑点，那么可以进行旋转，$(x, y)$ -> $(\frac{x+y}{2}, \frac{x-y}{2})$。

如果全是白点，则可以整体下移一格变成全黑点，点的性质不变，此时可以按照全黑调整。

不断调整直到同时存在黑白点即可。

 

3.CF1146G Zoning Restrictions

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观察数据范围，可以考虑区间dp。

记 $f_{l,r,h}$ 表示区间 $[l, r]$ 内最高高度为 $h$ 的最大收入。

注意：对于一个dp状态 $f_{l,r,h}$，考虑的限制仅仅是完全被这个区间包含的限制，而非部分包含。

所以不难写出转移：$f_{l, r, h} = \max\limits_{k = l + 1} ^ r{mx_{l, k-1, h} + mx_{k, r, h} - w_{l,r,k,h}}$。

其中 $mx_{l,r,h}=\max\limits_{i=0}^h{f_{l,r,i}}$，$w_{l,r,k,h}$ 表示限制完全包含在区间 $[l,r]$ 内并且经过点 $k$ 且限制高度小于 $h$ 的总代价。

直接转移即可。