树上背包总结

树上背包问题讲解

• 状态定义：通常定义 dp[u][j] 表示以节点 u 为根的子树中，选择 j 个节点（或边）所能获得的最大价值。
• 递归处理：采用 DFS 后序遍历，先处理所有子节点，计算子树的 dp 值。
• 背包合并：对于每个子节点 v，将 v 的 dp 值合并到 u 的 dp 值中。使用倒序循环避免重复计算（类似 01 背包）。
• 初始化：根据问题初始化 dp 数组，通常 dp[u][0] = 0。

关键点

• 状态转移时，考虑从子节点 v 的子树中选择 k 个节点（或边），并加上连接 u 和 v 的边权或节点价值。
• 转移方程一般形式：dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k - 1] + dp[v][k] + w)，其中 -1 表示占用一个名额（用于边或节点）。
• 注意树的结构（如二叉树、多叉树）和价值的存储位置（边上或节点上）。

下面针对两个题目进行具体分析。

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T1 P2015 二叉苹果树

题目大意

有一棵苹果树，树枝分叉一定是二叉。需要剪枝，保留 Q 条树枝，求最多能留住的苹果数量。树枝的苹果数量存储在边上。

思路分析

状态定义

dp[u][j] 表示以节点 u 为根的子树中，保留 j 条树枝所能获得的最大苹果数。

转移方程

对于每个子节点 v，保留 u 到 v 的树枝需要占用一个名额，因此转移方程为：

dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k - 1] + dp[v][k] + v.val)

其中 v.val 是边 (u, v) 上的苹果数量。

过程

1. 构建树结构：使用邻接表存储无向图，边权为苹果数。
2. 从根节点 1 开始 DFS。
3. 在 DFS 中，初始化 sz[u] = 1（包括自身）。
4. 对于每个子节点 v：
   • 递归处理 v 的子树。
   • 更新 sz[u] += sz[v]。
   • 倒序循环 j（从 sz[u] 到 0），内层循环 k（从 0 到 j - 1），执行转移方程。
5. 输出 dp[1][Q]。

代码特点

• 价值存储在边上，转移时直接使用边权。
• 树枝数量与节点数相关，保留 Q 条树枝。
• 倒序更新 j 避免重复计算。

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T2 P2014 [CTSC1997] 选课

题目大意

有 N 门课程，每门课有学分，且可能有先修课。选择 M 门课程，求最大学分。课程关系构成森林，因此添加虚拟根节点 0。

思路分析

状态定义

dp[u][j] 表示以节点 u 为根的子树中，选择 j 门课程所能获得的最大学分。注意，dp[u][j] 不包括 u 自身的学分（因为 u 的学分会在其父节点处理时被添加）。

转移方程

对于每个子节点 v，选择 v 课程需要占用一个名额，因此转移方程为：

dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k - 1] + dp[v][k] + v.val)

其中 v.val 是节点 v 的学分（通过边权传递）。

过程

1. 使用邻接表存储有向图（但代码中存储为无向图，通过 DFS 避免回溯）。虚拟根节点 0 连接所有无先修课的课程。
2. 从虚拟根节点 0 开始 DFS。
3. 在 DFS 中，初始化 sz[u] = 1（包括自身）。
4. 对于每个子节点 v：
   • 递归处理 v 的子树。
   • 更新 sz[u] += sz[v]。
   • 倒序循环 j（从 sz[u] 到 0），内层循环 k（从 0 到 j - 1），执行转移方程。
5. 输出 dp[0][M]（因为虚拟根节点 0 不占课程数）。

代码特点

• 价值存储在节点上，但通过边权传递（子节点的学分作为边权）。
• 添加虚拟根节点 0 将森林转化为树。
• 转移时 j - k - 1 中的 1 用于选择子节点 v 的课程。

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