图论基础

图论

图论 (Graph theory) 是数学的一个分支，图是图论的主要研究对象。图 (Graph) 是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。
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图有三种

（1）有向图：图内都为有向边
（2）无向图：图内都为无向边
（3）混合图：图内有有向边和无向边

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图中的特殊情况：

环：从一个点出发，最后可以回到这个点
自环：从自己到自己的环
重边：多条起点终点相同的边

度的定义

对于无向图：

• 度：直接连接的边的数量

对于有向图：

• 入度：指向自己的边的数量
• 出度：从自己出发的直接边的数量

图的存储

邻接矩阵

定义一个二维数组\(G_{i_j}\)
如果\(u\to v\)有一条有向边，则\(G_{u_v}=1\)
如果\(u\to v\)有一条无向边，则\(G_{u_v}=G_{v_u}=1\)
反之为\(0\)
如果有边权\(w\)：

\[\begin{aligned} G_{u_v}=w \\ vis_{u_v}=1 \end{aligned} \]

优点：

• 查询边方便
  缺点：
• 不能直接记录重边
• 空间消耗太大，只适用于稠密图

邻接表

用点对关系存储边
创建\(n\)个向量\(vt_i\)
如果\(u\to v\)有一条有向边，则\(vt_u.push\_back(v)\)
如果\(u\to v\)有一条无向边，则\(vt_u.push\_back(v),vt_v.push\_back(u)\)
优点：

• 快速遍历a的所有直接边
• 没有空间浪费
• 可以存贮重边和自环
  缺点：
• \(a\to b\)是否存在边判断困难