DP刷题总结-2

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T1 AT_joisc2007_buildi ビルの飾り付け (Building)

简化题意

最长上升子序列模板

分析

\(O(n^2)\)做法

考虑DP

1. 定义状态：\(dp_i\)表示以\(i\)结尾的最长上升子序列长度
2. 确定答案：\(\max{dp_i}\)
3. 状态转移：对于每个\(a_i\)：
   (1)当\(a_i>a_j(j<i)\)从以第\(j\)个数结尾的地方再接一个数，即\(dp_j+1\)
   (2)自己单独成一个子序列
4. 边界条件：\(dp_i=1\)(每个数都能单独成一个子序列)

\(O(n\log n)\)做法

考虑贪心（往死里贪）
所以对于最大上升子序列，结尾元素越小，越有利于后面接上其他的数，也就可能变得更长
所以创建一个数组\(c\)，用来存贮现在的最长上升子序列中的元素
对于每个\(a_i\)，可以在\(c\)数组中找到一个第一个比他大的数，那么这个数就能替换掉\(c\)数组中的那个数，而\(dp_i\)的答案就是找到的数的下标，因为前面都是比他小的数，自然的，他也可以接在这些数后面
但是这样可能还是要扫一遍\(c\)数组，但我们能发现，\(c\)数组永远是单调递增的！所以使用二分大法，时间复杂度\(O(n\log n)\)
P.S.：\(c\)一定要初始化为无穷大，因为数要越小越好

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T2 AT_abc281_d [ABC281D] Max Multiple

分析

1. 定义状态：\(dp_{i,j,p}\)表示前\(i\)个数，选了\(j\)个，余数为\(p\)时的最大和
2. 答案：\(dp_{n,k,0}(dp_{n,k,0}\geq0)\)，否则为\(-1\)
3. 方程：
   （1）不选这个数:\(dp_{i-1,j,p}\)
   （2）选这个数:\(dp_{i-1,j-1,(p-a_i)\mod d }+a_i\)
4. 边界：\(dp_i=-\inf\)，\(dp_{0,0,0}=0\)

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T3 AT_abc369_d [ABC369D] Bonus EXP

题意简化

有\(n\)只怪物，每只怪物有一个数值\(a_i\),对于每只怪物，你有两种选择：

1. 放走他，获得\(0\)经验
2. 击败他，获得\(a_i\)经验，特别的，如果这只怪兽是你击败的偶数只怪物，你还可以额外获得\(a_i\)经验
   求最后你能获得多少经验

分析

1. 定义状态：\(dp_{i,0/1}\)表示前\(i\)个怪物，选了奇数/偶数个怪物的最大经验
2. 答案\(\max(dp_{n,0},dp_{n,1})\)
3. 状态转移方程：
   （1）选第\(i\)个怪物，且为奇数个：\(\max(dp_{i-1,0},dp{i-1,1}+a_i)\)
   （2）选第\(i\)个怪物：\(\max(dp_{i-1,1},dp_{i-1,0}+2\times a_i)\)
4. 边界：由于\(a\)可能有负数，所以dp设为负无穷

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还有两题有时间补上