CF1740C题解

众所周知，这道题的难度是 1400，所以是简单题。

分析

首先，坚信这是一道简单题，所以不要想复杂了。

首先我们需要对 $a$ 数组排序，这点是肯定的，为啥应该不用我解释。

下面，我们假设 $p_1, \;p_2,\; p_3$ 分别为朋友在第 $1$ 个，第 $2$ 个和第 $3$ 个背包中选择的棍子下标（注意，这里的下标都是指的排序后的数组下标）。我们可以发现，所有的分类情况下一定会满足下列四种条件之一：

$\begin{cases} p_1<p_2<p_3\\ p_1>p_2>p_3\\ \min(p_1,p_3)>p_2\\ \max(p_1,p_3)>p_2\\ \end{cases}$

翻译一下，这四种情况的答案分别是：

$ans=\begin{cases} (a_{p2}-a_{p1})+(a_{p3}-a_{p2})\operatorname{if} p_1<p_2<p_3\\ (a_{p3}-a_{p2})+(a_{p2}-a_{p1})\operatorname{if} p_1>p_2>p_3\\ (a_{p1}-a_{p2})+(a_{p3} -a_{p2})\operatorname{if}\min(p_1,p_3)>p_2\\ (a_{p2}-a_{p3})+(a_{p2} -a_{p1})\operatorname{if}\max(p_1,p_3)<p_2\\ \end{cases}$

你感性理解一下，你就会发现前两种情况一定不会比后两种优（因为如果出现这两种情况，你只需要将其中两个背包交换一下位置就会转化为后面两种，而明显转化后会更优，这个你自己手模一下应该很显然），于是我们就只用考虑后面两种情况就可以了,即:

$ans=\begin{cases} (a_{p1}-a_{p2})+(a_{p3}-a_{p2})\operatorname{if}\min(p_1,p_3)>p_2\\ (a_{p2}-a_{p3})+(a_{p2} -a_{p1})\operatorname{if}\max(p_1,p_3)<p_2\\ \end{cases}$

但是你会发现，即使是这样，我们任然不能很好的限制计算方法，于是我们考虑继续加强条件。

下面我们以第三种情况为例加强限制（第四种的推理过程是一样的）：

我们假设有 $\min(p_1,\;p_3) > p_2 + 1$（注意这里的都是下标之间的关系），我们分下列三种情况分析（注意，我们下面的讨论都基于我们假设朋友一定会选 $p_1,\;p_2,\;p_3$ 的基础上）：

1. 如果 $p_2 + 1$ 这根棍子被放在了第 $1$ 个背包中，那么朋友在背包 $1$ 中选择下标为 $p_2 + 1$ 的棍子而不是 $p_1$，因为 $a_{p_2 + 1} - a_{p_2} \leqslant a_{p_1} - a_{p_2}$，因此假设不成立；
2. 如果 $p_2 + 1$ 这根棍子被放在了第 $2$ 个背包中，那么朋友在背包 $2$ 中选择下标为 $p_2 + 1$ 的棍子而不是 $p_2$，因为 $(a_{p_1} - a_{p_2 + 1}) + (a_{p_3} - a_{p_2 + 1}) \leqslant (a_{p_1} - a_{p_2}) + (a_{p_3} - a_{p_2} )$，因此假设不成立；
3. 如果 $p_2 + 1$ 这根棍子被放在了第 $3$ 个背包中，那么朋友在背包 $3$ 中选择下标为 $p_2 + 1$ 的棍子而不是 $p_3$，因为 $a_{p_2 + 1} - a_{p_2} \leqslant a_{p_3} - a_{p_2}$，因此假设不成立。

于是我们发现，在 $\min(p_1,\;p_3) > p_2 + 1$ 时，朋友一定不会选择我们给他“指定”的那三个棍子，于是我们把条件收束为：

$ans=\begin{cases} \min(p_1,p_3)>p_2 \& \min(p_1,p_3)=p_2+1\\ \max(p_1,p_3)<p_2 \& \max(p_1,p_3)=p_2-1\\ \end{cases}$

的时候我们才能确定朋友所选取的棍子就是我们“指定”的那三根。

这个条件化简一下其实就是：

$ans=\begin{cases} \min(p_1,p_3)=p_2+1\\ \max(p_1,p_3)=p_2-1\\ \end{cases}$

而我们需要最大化 $|a_{p_2}-a_{p_1}|+|a_{p_3} - a_{p_2}|$，于是我们很显然将 $\min(p_1,\;p_3)$ 定为 $1$ 或者让 $\max(p_1,\;p_3)$ 为 $n$，这样我们得到的解一定最优（注意此时我们是在计算答案，这里的 min 和 max 与上式中并不表同一含义，具体看下面的式子）。但是此时我们也只是确定了其中一边的取值，那么另一边枚举就行了，于是我们有以下计算式：

$ans=\max\begin{cases} \max^n_{i=3}\{(a_i-a_1)+(a_i-a_{i-1})\}\text{此时的排列是1,i~n,2~i-1} \\ \max^{n-2}_{i=3}\{(a_n-a_i)+(a_{i+1}-a_{i})\}\text{此时的排列是n,1~i,i+1~n-1} \\ \end{cases}$

于是我们就做完了，对就是这么简单，区区 1400 而已，是真的不能把他想的太难了，不然真的很容易想偏。

附源码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
int a[10000];
int main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		int n;
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
		}
		sort(a+1,a+n+1);
		int ans=0;
		for(int i=3;i<=n;i++){
			ans=max(ans,a[i]-a[1]+a[i]-a[i-1]);//1,i~n,2~i-1
		}
		for(int i=1;i<=n-2;i++){
			ans=max(ans,a[n]-a[i]+a[i+1]-a[i]);//n,1~i,i+1~n-1
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}