数学二单元课后总结
::::info[\(\boxed{\text{\large{前言}}}\)]
writer,coder,jcer all from \(\textcolor{#52c41a}{\mathrm{Luna\_From\_Starry}}\)
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\(\mathbf{第二章}\ \mathcal{代数式}\)
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\(\mathcal{Unit}\ \mathcal{2.1}\ \ 字母表示数\)
生活中(或题目中)我们经常会遇到不知道值，要求求答案的题，这时候我们就要用到字母
- \(\mathcal{For}\ \mathcal{example}：\)
\(\mathcal{S_{长} = ab}\)
\(\mathcal{S_{正} = a^2}\)
这种就是字母表示数
而法国数学家弗朗索瓦·韦达第一个**系统地使用字母来表示未知数和已知数
以前复杂的语言现在可以轻松表示了
有趣的数学知识
手机号码泄露年龄
有一个很有趣的游戏（好像不是游戏叫做手机号码泄露年龄
他是这么玩的：
用你的手机号码加20，乘25，乘4，加25减去出生年龄后就可以得到你的年龄
这是为什么呢？
我们不妨设a为手机号码，那么：
加25之后
::cute-table{tuack}
| 十位 | 个位 |
|---|---|
| 2 | 5 |
减去出生年份（可借位）
☆所以此论是骗人的
速算\(99999999^2\)
\(\mathcal{Unit}\ \mathcal{2.2}\ \ 整式\)
定义：对有限的已知数和字母进行加减乘运算的代数式叫做整式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
-
组成部分：
- 常量：确定的数。
- 变量（字母）：表示可变的数。
- 运算符号：如 +, -, ×, ÷,
^（乘方）等。 - 关系符号：如括号。
-
分类
代数式
-
整式：分母中不含字母的代数式。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式（如 \(5x\), \(-3a^2b\)）。。
- 系数：单项式中的数字因数（包括符号）。如 \(-3a^2b\) 的系数是 \(-3\)。
- 次数：所有字母的指数之和。如 \(-3a^2b\) 的次数是 \(2+1=3\)。
- 多项式：几个单项式的和。
- 项：组成多项式的每个单项式。
- 常数项：不含字母的项。
- 次数：多项式中次数最高项的次数。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式（如 \(5x\), \(-3a^2b\)）。。
-
分式：分母中含有字母的代数式（如 \(\frac{1}{x}\), \(\frac{a+b}{a-b}\)）。
-
\(\mathcal{Unit}\ \mathcal{2.3}\ \ 整式的加减\)
同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。
合并同类项法则：系数相加减，字母和字母的指数不变。
去括号法则：
* 括号前是“+”，去括号后，括号内各项符号不变。
* 括号前是“-”，去括号后，括号内各项符号都改变。
\(\mathcal{Unit}\ \mathcal{2.4}\ \ 幂的运算\)
\(a^n\cdot b^n = a^{n + m}(n, m为整数)\)
\(\mathcal{Prove}\ \mathcal{the}\ \mathcal{theorem:}\)
\({a^n}^m = a^{nm}\)
\(\mathcal{Prove}\ \mathcal{the}\ \mathcal{theorem:}\)
\(ab^n = a^nb^n\)
\(\mathcal{Prove}\ \mathcal{the}\ \mathcal{theorem:}\)
\(\mathcal{Unit}\ \mathcal{2.5}\ \ 整式的乘法运算\)
单项式 × 单项式：
- 系数相乘。
- 同底数幂相乘（底数不变，指数相加）。
- 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
- \(\mathcal{For}\ \mathcal{example}\)：\((3a²b) × (-2ab³) = [3×(-2)] × (a²×a) × (b×b³) = -6a³b⁴\)
单项式 × 多项式：利用乘法分配律，将单项式乘以多项式的每一项。
- \(\mathcal{For}\ \mathcal{example}\)：\(2x\cdot(3x-4y) = 6x^2 - 8xy\)
多项式 × 多项式：
- 用一个多项式的每一项，去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 可以形象记忆为：\((a+b)(m+n) = am + an + bm + bn\)。
\(\mathcal{Unit}\ \mathcal{2.6}\ 零指数与负指数\)
\(a^n\div a^m = a^{n - m}(n, m为整数)\)
\(\mathcal{Prove}\ \mathcal{the}\ \mathcal{theorem:}\)
\(a^0 = 1\ \ \ \ a^{-m} = \frac{1}{a^m}\)
单项式除以单项式系数相除，作为商的系数相同，字母幂相除。指数相减做指数，指数为零得一,字母舍去
什么你问我多项式除以多项式
那我只能告诉你 大! 除! 法!
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\(\mathcal{幻方}\)
:::
引入
| \(6\) | \(7\) | \(2\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(5\) | \(9\) |
| \(8\) | \(3\) | \(4\) |
如图，这是一个幻方
知识库:
幻方 是指一个 n × n 的正方形网格（即n阶方阵），其中填入了 n² 个互不相同（通常是从1开始的连续自然数）的数字，并满足以下核心性质：
每一行、每一列以及两条主对角线上的所有数字之和都完全相等。
这个相等的和被称为 “幻和” 或 “魔数和”。
他有一些奇妙的性质(设幻方如下)
| \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) |
|---|---|---|
| \(x_4\) | \(x_5\) | \(x_6\) |
| \(x_7\) | \(x_8\) | \(x_9\) |
比如
特殊的三阶幻方
| \(6\) | \(7\) | \(2\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(5\) | \(9\) |
| \(8\) | \(3\) | \(4\) |
这是一个三阶幻方，他本质上只有一种
为什么呢?
\(\mathcal{Prove}\ \mathcal{the}\ \mathcal{theorem:}\)
确定幻和与中心数**
-
幻和 S：
数字总和 = 1 + 2 + ... + 9 = 45。
由于三行数字之和相等，每行之和（幻和）S = 45 ÷ 3 = 15。 -
关键：中心数（记为 (e)）必须为 5。
- 我们观察所有经过中心 (e) 的直线：两条对角线和中间的行、列，共4条。
- 将这4条线的数字全部相加：和 = (4 \times S = 60)。
- 这个总和包含了：整个方阵的数字总和 + \(3 \times e\)。
- 因为整个方阵的数字总和是45。
- 中心数 (e) 被这4条线都包含，共计算了4次，比其他数字多计算了3次。
- 所以有方程：(45 + 3e = 60)，解得 (e = 5)。
结论一：任何三阶幻方，中心格子必须是 5。
第二步：分析奇偶配对与角格
-
数字分组：将数字1-9按奇偶分组。
- 奇数：1, 3, 5, 7, 9 （5个）
- 偶数：2, 4, 6, 8 （4个）
-
奇偶分布规则：
- 考虑八条边上的奇偶性
- 奇数 + 奇数 + 奇数 = 奇数 (成立)
- 偶数 + 偶数 + 奇数 = 奇数 (成立)
- 奇数 + 偶数 + 奇数 = 偶数 (不成立)
- 偶数 + 偶数 + 偶数 = 偶数 (不成立)
-
角格的奇偶性：
- 可能性一：四个角全为偶数(或者说边上是偶偶奇),只要奇偶两两配对就行了
-
- 可能性二：四个角全为奇数(或者说边上是奇奇奇)，因为四个角全是奇数，所以四个边中格就也要是奇数，但奇数只有四个(除去5)，所以不可能
结论二：四个角格必须全部是偶数。四个边中格必须全部是奇数。
幻方的扩展与分类
在基本定义之上，幻方还有许多有趣的变体和更严格的要求：
-
- 不仅两条主对角线，所有“断裂对角线” 上的数字之和也等于幻和。
- 例如，在3阶幻方中，数组
(3, 5, 7)是一条断裂对角线。这通常对阶数有要求，且构造更难。
-
- 幻方中任何两个关于中心对称的数字（即位置
(i, j)和(n+1-i, n+1-j)的数字）之和都相等。这个和通常为 n²+1。 - 上面的3阶幻方例子就是关联幻方（例如，2+8=10，4+6=10，都等于10=9+1）。
- 幻方中任何两个关于中心对称的数字（即位置
-
- 这是最严格的一种，它既是完美幻方（所有断裂对角线之和为幻和），又是关联幻方（中心对称数对之和恒定）。4阶的魔鬼幻方非常著名。
-
- 可以使用等差数列或其他不连续的数字集，只要满足行、列、对角线之和相等的条件。此时的幻和公式不再适用。
-
- 图形不再是正方形，而是其他几何形状（如幻圆、幻立方、幻星等），但核心的“和相等”思想不变。
浙公网安备 33010602011771号