状压DP杂题记录

[POI2004]PRZ

题面

首先观察 \(n \leq 16\) ,很明显的状压DP，设 \(dp_i\) 表示当前 状态为 i 所需要的最小花费，那么明显 \(dp[i]=0\) ,然后我们预处理出来每个状态的重量总和，以及在符合条件的情况下，他们同时过桥的时间是多少，记为 W 和 T 数组，然后对于每一个状态，我们枚举这个状态的子集，那么转移式为

\[dp_i=dp_j+T_{i \oplus j} \]

其中需满足 \(W_{i \oplus j} \leq WW\) 且 \(i \subset j\) 时间复杂度为 $O(3^n) $

关于时间复杂度的证明：

设一个状态在二进制下一的个数是 k,则枚举子集为 \(2^k\) ,而状态中1的个数恰好是k的状态数量为 $C\left( n,k\right ) $
即为 \(\sum \limits _{k=0} ^n C(n,k) *2^k\) ,我们根据二项式定理,设 \(x=1,y=2\) ,整理可得 \((1+2)^n=3^n\)

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