C++ 浅谈平行四边形不等式优化DP

前言

在区间DP中，第三重循环枚举分割点容易造成超时，那么又什么方法来优化呢?

当然有，有一种叫做平行四边形不等式的玩意优化DP

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平行四边形不等式

如果有两个区间满足 f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]，那么这个东东就是平行四边形不等式

可以这样理解，交叉或包含的两个区间，a到c和b到d的值满足小于等于包含的两个区间（bc被包含于ad）

还有就是决策单调性 
     w[i,j]<=w[i',j']   ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i<j<=j'

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平行四边形不等式的性质

这玩意儿有什么性质，对边互相平行？

非也，这玩意儿有两个性质

定义一个 动态转移方程 f[i][j] = min( f[i][j] , f[i-1][k]+w[k-1][j] ) 

一. 如果w满足决策单调性 ​​​​且满足平行四边形不等式那么 f 也满足四边形不等式

二. 当定理一的条件满足时，让f [ i ][ j ]取最优值的minx为minx[ i , j ]，则minx[ i - 1 , j ] <= minx[ i , j ] <= minx[ i , j + 1 ] </