CSP-S初赛组合数学和相关进阶

\(\huge {初赛组合初步}\)

一、 n 个元素的集合 S 的一个 r 排列被理解为 n 个元素中 r 个元素的有序摆放

1、 不可重复：

在n个元素中选出r个元素的选择方案个数：

\[\displaystyle {P^{\ r}_{\ n} = \frac{n\ !}{(n - r)\ !}} \]

2、可重复：

在n个元素中选出r个元素的选择方案个数：

\[\displaystyle {n^{\ r}} \]

3、圆排列：

在n个元素中选出r个元素排成一个圆的排列方案个数：

\[\displaystyle {\frac{P^{\ r}_{\ n}}{r} = \frac{n\ !}{r\ !\ (n - r)\ !}} \]

---

二、 n 个元素的集合 S 的一个 r 组合被理解为 n 个元素中 r 个元素的子集

组合数

\[\displaystyle {C^{\ r}_{\ n}} \ \ or \ \ \displaystyle {(^{n}_{r})} = \displaystyle {\frac{n\ !}{r\ !\ (n-r)\ !}} \]

性质一、

\[C^{\ r}_{\ n} = C^{\ n - r}_{\ n} \]

性质二、

\[C^{\ r}_{\ n} = C^{\ r}_{\ n - 1} + C^{\ r - 1}_{\ n - 1} \]

此性质使用DP思维易证 ， 常用于避免阶乘 ， 构造杨辉三角

性质三、

\[\displaystyle {\sum_{i = 0}^{n} \large {(^n_i)} = 2^{\ n}} \]

体现组合数学与二进制的关系

三、多重集PC

1、 无限多重集排列：

有 k 个元素 ， r 排列为 \(k^{\ r}\)

2、 有限多重集排列：

有 k 个元素 ， 重数分别为 \(n_1 , n_2, ...\ , n_k\)

\[\displaystyle {\sum_{i = 0}^{n} \large{(^n_i)}\ 排列为\ \frac{(\sum_{i = 1}^{k} n_i)\ !}{\prod_{i = 1}^{k} (n_i\ !)} = \frac{(n_1 + n_2 + ... + n_k)\ !}{n_1\ ! n_2\ !... n_k\ !}} \]

3、无限多重集组合：

k 元无限重 ， r 组合 = $ C^{\ r}_{\ r + k - 1}$

---

四、二项式定理：

待编辑