6.6 闲话

来自这里

我们可以在 \(O(n\log \log n)\) 的（也许是 \(O(n)\)？）时间复杂度内对于 \(i\in [1,n]\) 的每一个 \(i\) 计算出 \(f(i)=i^i\)。

我们考虑线性筛的过程：

• 首先对于质数，我们快速幂暴力计算，时间复杂度 \(O(\frac n {\ln n}\log n)=O(n)\)。
• 否则我们一定可以把这个数 \(i\) 写成 \(p\times q\) 的形式，\(p\) 是 \(i\) 的最小质因数。

由于 \(i=p\times q\)，所以：\(f(i)=f(p)^qf(q)^p\)。

由于我们发现 \(p\le \sqrt n\)，所以我们对于 \(\le \sqrt n\) 的每个质数预处理光速幂，即可 \(O(1)\) 计算 \(f(p)^q\)，这一部分时间复杂度 \(O(\frac {\sqrt n}{\ln n}\sqrt n)=O(\frac n {\ln n})\)。

然后我们考虑计算 \(f(q)^p\)，我们不难发现，对于一个 \(q\)，我们询问的只有 \(f(q)^{2},f(q)^{3},f(q)^5,f(q)^7\ldots\)，而这个我们可以每次计算增量的贡献，由于增量最大只有 \(\ln \frac nq\)，所以这里复杂度是 \(O(\frac {n/q}{\ln (n/q)}+\ln \frac n q)\)。

我们先计算：

\[\int_1^n\ln \frac n xdx=(x\log \frac n x+x)|_{x=n}=O(n) \]

然后计算：

\[\begin{aligned} \int \frac {n/x}{\ln(n/x)}dx=-n\log\log \frac n x \end{aligned} \]

看起来积分近似误差有点大，呃。

打表看出来好像大概是 \(O(1.5n\log\log n)\) 的样子，呃