【题解】 bzoj1597: [Usaco2008 Mar]土地购买 （动态规划+斜率优化）

bzoj1597懒得复制，戳我戳我

Solution:

• 线性DP打牌\(+\)斜率优化
• 定义状态：\(dp[i]\)到了位置\(i\)最少花费
• 首先我们要发现，如果有一个小方块能被其他的大方块包围，其实可以忽略这个小方块，因为我们可以把他们俩捆绑，小方块的边长不会对求值造成贡献
• 然后我们可以按照宽从大到小排序，长从小到大（剔除了那种包含的情况），保证单调性
• 我们就可以列出递推式子：\(dp[i]=min(dp[j-1]+y[j]*x[i])\)

注意是\(dp[j-1]\)(这里搞错了好久)

• 显然这个是满足决策单调性的嘛(主要是我不会证明)
• 然后我们就可玩弄这个式子，假定\(j<k\),那么\(y[j]>y[k]\)，\(dp[j-1]<dp[k-1]\)，且\(x[i]\)单调增

\[dp[j-1]+y[j]*x[i]>dp[k-1]+y[k]*x[i] \]

\[dp[j-1]-dp[k-1]>-(y[j]-y[k])*x[i] \]

\[\frac{dp[j-1]-dp[k-1]}{y[j]-y[k]}>-x[i] \]

• 然后维护一个上凸包就ok了

Code:

//It is coded by Ning_Mew on 5.22
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int maxn=5e5+7;

int n;
struct Node{
  LL x,y;
}node[maxn];
LL dp[maxn],large=-10000;
int team[maxn],s=0,t=1;

LL Min(LL a,LL b){return a<b?a:b;}
bool cmp(const Node &a,const Node &b){
  if(a.y!=b.y)return a.y>b.y;return a.x>b.x;
}
double slope(int i,int j){
  return 1.0*(dp[i-1]-dp[j-1])/(node[i].y-node[j].y);
}
int main(){
  freopen("in.in","r",stdin);
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&node[i].x,&node[i].y);}
  sort(node+1,node+n+1,cmp);
  s=1;t=2;team[s]=1;
  dp[1]=node[1].x*node[1].y;
  large=node[1].x;
  
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(node[i].x<=large){dp[i]=dp[i-1];continue;}
    large=max(large,node[i].x);
    while((s+1<t)&&(slope(team[s],team[s+1])>-1.0*node[i].x)){
      s++;
    }
    
    dp[i]=Min(node[i].x*node[i].y+dp[i-1],dp[ team[s]-1 ]+node[ team[s] ].y*node[i].x);
    
    while((s+1<t)&&(slope(team[t-1],i)>slope(team[t-2],team[t-1]))){t--;}
    team[t]=i;t++;
  }
  printf("%lld\n",dp[n]);
  return 0;
}