ABC272H

\[p_i+a_i>n\\ Ans=\sum_p|\{i:p_i>n-a_i\}|\\ a_i\gets n-a_i\\ Ans=\sum_p|\{i:p_i>a_i\}|\\ F=\sum_px^{|\{i:p_i>a_i\}|}\\ \]

定义 \(G\) 为 \(p\) 至少 \(k\) 处比对应 \(a\) 位置上的值大的生成函数。

\(a\) 顺序无关，先排序。

钦定位置 \(p_1,p_2,p_3,\dots,p_k\)，方案为 \((n-a_{p_k})(n-a_{p_k-1}-1)\dots(n-a_1-(k-1))\)。

反转 \(a\)。\(g_{i,j}\)：处理了前 \(i\) 位，选了 \(j\) 个位置的方案数。

\(g_{i,j}=g_{i-1,j}+(n-a_i-j+1)g_{i-1,j-1}\)

令 \(a_i\gets n-a_i+1\)。

\(g_{i,j}=g_{i-1,j}+(a_i-(j-1)-1)g_{i-1,j-1}\)

\[G_i=G_{i-1}+(a_i-1)G_{i-1}x-G_{i-1}'x^2\\ TG_i=(a_i-1)xTG_{i-1}+TG_{i-1}-TG'_{i-1}x^2=ATG_{i-1}+B(TG_{i-1})'x\\ =ATG_{i-1}+BxT'G_{i-1}+BxTG_{i-1}'\\ A=(a_i-1)x,B=x,x^2T'=T,T=e^{-\frac{1}{x}}\\ \]

\(A\) 不是单项式。

所以要在递推式里把 \(a_i\) 移到第一项。

记 \(h_{i,j}=g_{i,i-j}\)，则有 \(h_{i,j}=h_{i-1,j-1}+(a_i-(i-j))g_{i-1,j}=h_{i-1,j-1}+(j+a_i-i)h_{i-1,j}\)。

记 \(b_i=a_i-i\)。

\[G_i=G_{i-1}x+b_iG_{i-1}+G_{i-1}'x\\ TG_i=TG_{i-1}x+b_iTG_{i-1}+TG_{i-1}'x=ATG_{i-1}+B(TG_{i-1}')x\\ =ATG_{i-1}+BxT'G_{i-1}+BxTG_{i-1}'\\ A=b_i,B=1,T'=T\to T=e^x \]