[离散数学] 谓词逻辑

时隔一年半，学校又开设了离散数学的课程，让我们再次开始新的魔法旅程吧w

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由于命题逻辑无法描述特定对象，所以我们要引入谓词逻辑。

我们给出谓词和个体词的概念，由于命题是反映判断的句子，而反映判断的句子是由主语和谓语组成的。我们将主语称为个体词（用小写字母表示），谓语（和宾语）称为谓词（用大写字母表示）。我们可以记作 \(P(x)\) 的形式。

和命题一样，个体词也分为个体常量和个体变量。

我们对于一个谓词，我们如果给定其个体变量的值，那么这个谓词就称为谓词填式。

有了谓词，我们定义简单命题函数为：由一个谓词和若干命题变元组成的表达式，而复合命题函数式是将几个简单命题函数用连接词连接成的表达式，它们统称命题函数。

由于命题函数中的个体变量一般会用个体域的限制，为了描述这个限制，我们引入量词：全称量词 \(\forall x\)（对于任意的 \(x\)）和存在量词 \(\exist x\)（存在 \(x\)），如果要表明存在唯一的，那么我们就使用 \(\exist ! x\)。

我们称 \(x\) 为量词的管辖变量，在量词后面紧跟的表达式是量词起作用的范围，我们称之为量词的“辖域”。

我们现在需要考虑如何描述个体域，我们可以考虑将个体域的限制当成另一个命题函数加入原命题函数。对于全称量词，我们要将原命题函数改成蕴含式，且将个体域限制当作前件，原命题函数当作后件。对于存在量词，我们要将原命题函数改为合取式，只需让个体域限制合取上原命题函数。

和命题公式一样，我们也可以类似的定义谓词合式公式：

1. 单个谓词公式本身为合式公式；
2. 如果 \(A\) 为合法的合式公式，则 \(\lnot A\) 也为合法的合式公式；
3. 如果 \(A, B\) 为合法的合式公式，则 \((A \land B), (A \lor B), (A \rightarrow B), (A \leftrightarrow B)\) 均为合法的合式公式。
4. 如果 \(A\) 是合法的合式公式，\(x\) 是 \(A\) 中出现的任何变元，那么 \((\forall x)A\) 和 \((\exist x)A\) 是合式公式。
5. 经过有限次应用法则 1. 2. 3. 4. 拼接所形成的公式为合式公式。

同理，我们可以定义两个谓词合式公式 \(A, B\) 的等价：如果它们有共同的个体域 \(E\)，如果对 \(A, B\) 的任意一组变元进行赋值，所得的命题真值相同，则称谓词公式 \(A, B\) 在 \(E\) 上是等价的，记作 \(A \Leftrightarrow B\)。

同理也有可满足，不可满足，永真，矛盾，蕴含等定义，与命题逻辑相同。

这里给出谓词逻辑中的等价蕴含式：

标号	内容	标号	内容
$$I_{17}$$	$$((\forall x) A(x) \lor (\forall x) B(x)) \Rightarrow (\forall x) (A(x) \lor B(x))$$	$$I_{19}$$	$$((\exist x) A(x) \rightarrow (\forall x) B(x)) \Rightarrow (\forall x)(A(x) \rightarrow B(x))$$
$$I_{18}$$	$$(\exist x)(A(x) \land B(x)) \Rightarrow ((\exist x) A(x) \land (\exist x) B(x))$$

标号	内容	标号	内容
$$E_{23}$$	$$(\exist x)(A(x) \lor B(x)) \Leftrightarrow (\exist x)A(x) \lor (\exist x)B(x)$$	$$E_{29}$$	$$(\exist x)(A(x) \rightarrow B(x)) \Leftrightarrow ((\forall x) A(x) \rightarrow (\exist x) B(x))$$
$$E_{24}$$	$$(\forall x)(A(x) \land B(x)) \Leftrightarrow (\forall x)A(x) \land (\forall x)B(x)$$	$$E_{30}$$	$$(\forall x)A(x) \rightarrow B \Leftrightarrow (\exist x)(A(x) \rightarrow B)$$
$$E_{25}$$	$$\lnot (\exist x) A(x) \Leftrightarrow (\forall x) \lnot A(x)$$	$$E_{31}$$	$$(\exist x) A(x) \rightarrow B \Leftrightarrow (\forall x)(A(x) \rightarrow B)$$
$$E_{26}$$	$$\lnot (\forall x) A(x) \Leftrightarrow (\exist x) \lnot A(x)$$	$$E_{32}$$	$$A \rightarrow (\forall x)B(x) \Leftrightarrow (\forall x) (A \rightarrow B(x))$$
$$E_{27}$$	$$(\forall x) (A \lor B(x)) \Leftrightarrow A \lor (\forall x) B(x)$$	$$E_{33}$$	$$A \rightarrow (\exist x) B(x) \Leftrightarrow (\exist x)(A \rightarrow B(x))$$
$$E_{28}$$	$$(\exist x)(A \lor B(x)) \Leftrightarrow A \lor (\exist x) B(x)$$