洛谷P2014 选课（树形DP+0/1背包）

洛谷P2014 选课（树形DP+0/1背包）

题目的关键点是把0看作存在的节点，找到一块由0出发的连通部分（即不能出现断层）

解法一（纯递归）

要计算的是以0为根，包含0的所有子树，节点总数目为m+1的最大权值累加和，设以i为根，包含i的前j棵子树，节点总数目为k的最大权值累加和是dp[i][j][k],只需要考虑前j-1棵子树上选取s门课程，然后在第j棵子树上面选取k-s门课程，状态转移方程为

\[dp[ i ] [j][k]=max(dp[i][j-1][k-s]+dp[v][g[v].size()][s])(s从1到k，v是第j棵子树头节点，v=g[i][j-1]) \]

递归重点是k=1时或者没有子树，此时头节点的权值就是结果

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define vi vector<int> 
#define pb push_back 
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
const int INF=1e18,N=301,MOD=998244353;
vector<vi> g;
int sco[N];
vector<vector<vi>> dp;
int cal(int i,int j,int k){
    if(k==0) return 0;
    if(j==0||k==1) return sco[i];
    if(dp[i][j][k]!=-1) return dp[i][j][k];
    int ans=cal(i,j-1,k);
    int v=g[i][j-1];
    for(int s=1;s<k;s++){
        ans=max(ans,cal(i,j-1,k-s)+cal(v,g[v].size(),s));
    }
    dp[i][j][k]=ans;
    return ans;
}

void solve(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    g.clear();
    g.resize(n+1);
    m++;
    dp.resize(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int k,s;
        cin>>k>>s;
        g[k].pb(i);
        sco[i]=s;
    }
    for(int i=0;i<=n;i++){
        dp[i]=vector<vi>(g[i].size()+1,vi(m+1,-1));
    }
    cout<<cal(0,g[0].size(),m)<<endl;
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int T=1;
    // cin>>T;
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}

时间复杂度为O(n*平均子树大小*m*m)

解法二（树上0/1背包）

使用DFN序，则0节点的DFN序为1,以此类推。在算DFN序的时候把其子树大小算出来，方便后续维护的连续有效结构。

以下节点以表示dfn序节点

从终点算起往回递推，设从节点i到节点n+1里面选择j门课程最大能获取dp[i][j]的学分，那么计算在dp[i+1][j]算出来后只需要考虑是否选入节点i,若选入，则在i+1号节点到n+1之间选择j-1个节点，否则i节点及其子树部分包含的节点都不可以被选入（保持连续）。两种情况取max即可，状态转移方程为

\[dp[i][j]=max(dp[i+1][j-1]+val[i],dp[i+siz[i]][j])|(siz[i]为i的子树大小，包含i) \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define vi vector<int> 
#define pb push_back 
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
const int INF=1e18,N=305,MOD=998244353;

//DFN+树形DP
int sco[N],val[N];
int dp[N][N];
int dfncnt;
vi g[N];
int dfn[N],siz[N];//子树大小
int f(int u){//求dfn的递归函数
    dfn[u]=++dfncnt;
    int t=dfncnt;
    siz[t]=1;
    val[t]=sco[u];
    for(int v:g[u]){
        siz[t]+=f(v);
    }
    return siz[t];
}

void solve(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int k,s;
        cin>>k>>s;
        g[k].pb(i);
        sco[i]=s;
    }
    f(0);
    for(int i=n+1;i>=2;i--){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dp[i][j]=max(dp[i+1][j-1]+val[i],dp[i+siz[i]][j]);
        }
    }
    cout<<dp[2][m]<<endl;
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int T=1;
    // cin>>T;
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}