OI 数学知识合集

最大公约数(gcd)

定义：给定两个数 \(a,b\)，\(\gcd(a,b)\) 为最大的 \(d\) 使得 \(d\mid a\) 且 \(d\mid b\)。

求解方法：辗转相除法（欧几里得算法）

定理：\(\boxed{\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b)}\)

证明：

设 \(d=\gcd(a,b)\)，则 \(d\mid a\) 且 \(d\mid b\)。注意到 \(a\) 可以表示为 \(bk+r(k \in \mathbb{Z})\)。

则 \(d\mid a\) 等价于 \(d\mid bk+r\)，因为 \(d\mid b\) 所以 \(d\mid bk\)，则 \(d\mid r\)。得证。

裴蜀定理

结论：对于不定方程 \(a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=c\)，其有解当且仅当 \(\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid c\)。

证明：

从 \(ax+by=c\) 推广是好证的，所以只需要证 \(ax+by=c\) 的情况。

设最小正元素为 \(x\)，则只需证 \(x=\gcd(a,b)\)，即 \(x\mid \gcd(a,b)\) 且 \(\gcd(a,b)\mid x\)。

首先 \(\gcd(a,b)\mid ax,\gcd(a,b)\mid by\)，所以 \(\gcd(a,b)\mid x\)。

设 \(a=kx+r\)，其中 \(r\in[0,x)\)。则

\[r=a \bmod x \]

\[r=a-kx \]

\[r=a-k(ax'+by') \]

\[r=a(1-kx')-bky' \]

观察到形式一致，说明 \(r\) 也是 \(ax+by=c\) 的一个合法的 \(c\)。因为 \(x\) 是最小正元素，所以 \(r=0\)。得 \(x\mid a\)。同理，\(x\mid b\)。所以 \(x\mid \gcd(a,b)\)。得证。

之后使用数学归纳法，运用 \(\gcd(\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}),a_n)=\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)\) 即可推广。

exgcd（扩展欧几里得）

其用途是求解不定方程 \(ax+by=c\) 的一组特解。利用欧几里得算法。

先考虑如何求解 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。

当 \(b=0\) 的时候，方程化为 \(ax=a\)，容易得出 \(x=1\)。考虑如何向上递归求解原问题。

首先按欧几里得算法的思想可以列出：

\[\begin{cases} ax+by=\gcd(a,b)\\ bx'+(a\bmod b)y'=\gcd(b,a\bmod b)\\ \end{cases}\]

\(a \bmod b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b\)，改写：

\[bx'+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y'=\gcd(b,a\bmod b) \]

根据 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)，

\[ax+by=bx'+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y' \]

\[ax+by=bx'+ay'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times by' \]

\[ax+by=ay'+b(x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times y') \]

\[x=y',y=x'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor \times y' \]

按照原算法进行递归即可。

但是如果 \(c \not= \gcd(a,b)\)，根据方程的性质，需要保证 \(\gcd(a,b)\mid c\)。求解也比较简单：

设 \(t=\frac{c}{\gcd(a,b)}\)，原方程解为 \(x,y\)，则 \(x_1^*=xt,y_1^*=yt\)。

线性同余方程/二元一次不定方程

定义：形如 \(ax \equiv b \pmod p\) 的方程称为线性同余方程。

其等价于二元一次不定方程 \(ax+np=b\)。由裴蜀定理得，方程有解当且仅当 \(\gcd(a,n)\mid b\)，直接使用 exgcd 求解不定方程即可。

但是这样求出的是一组特解，考虑通解：

将特解与原方程相减可得：

\[a(x_1^*-x_1)+b(y_1^*-y_1)=0 \]

则可以构造出 \(x_1^*-x_1=t\times\frac{b}{\gcd(a,b)},y_1^*-y_1=-t\times\frac{a}{\gcd(a,b)}\)。

所以 \(\boxed{x_1=x_1^*-t\times\frac{b}{\gcd(a,b)},y_1=y_1^*+t\times\frac{a}{\gcd(a,b)}(t \in \mathbb{Z})}\)

欧拉函数

定义：\(\varphi(p)\) 表示 \(1\) 至 \(p-1\) 中与 \(p\) 互质的数的个数。

性质：

• 计算公式：设一个数能 \(x\) 分解为 \(p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \cdots \times p_n^{c_n}\)，则 \(\boxed{\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})}\)

  证明：考虑两个质数 \(p\) 和 \(q\) 组成的数 \(pq\)，与其互质的数的个数为 \(x-\frac{x}{p}-\frac{x}{q}+\frac{x}{pq}=x(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})\)，运用归纳法拓展。

• 若存在互质整数 \(p,q\)，则 \(\boxed{\varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)}\)。这同时符合积性函数的定义：\(a,b\) 互质，\(f(ab)=f(a)f(b)\)。证明简单，将 \(\varphi(p)\) 和 \(\varphi(q)\) 按定义列出即可。

• 若质数 \(p\) 满足 \(p\mid n\) 且 \(p^2\nmid n\) 则 \(p\) 与 \(\frac{n}{p}\) 互质。所以 \(\boxed{\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})\varphi(p)=\varphi(\frac{n}{p})\times(p-1)}\)

• 若质数 \(p\) 满足 \(p\mid n\) 且 \(p^2 \mid n\)。按定义展开，得 \(\boxed{\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})\times p}\)

• \(\boxed{\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n}\)

  证明：根据积性函数，可以将各个质数分开考虑。考虑一个质因子 \(p\)，其在 \(n\) 中的出现形式为 \(1,p,p^2,\cdots,p^m\)。那么这些值的欧拉函数会形成一个比值为 \(p\) 的等比数列。求和再加一结果为 \(p^m\)。最后把各个质数乘起来，得证。

CRT

\[\begin{cases} x\equiv a_1 \pmod {p_1}\\ x\equiv a_2 \pmod {p_2}\\ \cdots\\ x\equiv a_n \pmod {p_n}\\ \end{cases} \]

保证 \(p_1,p_2 \cdots p_n\) 互质。

结论：设 \(t_i\) 为同余方程 \(p_i't_i\equiv 1 \pmod {p_1}\) 的解，\(P=\Pi p_i\)，\(p_i'=\frac{P}{p_i}\)。则 \(\boxed{ans=\sum a_it_ip_i'}\)

证明：

将方程组拆分：

\[\begin{cases} x\equiv a_1 \pmod {p_1}\\ x\equiv 0 \pmod {p_2}\\ \cdots\\ x\equiv 0 \pmod {p_n}\\ \end{cases} \begin{cases} x\equiv 0 \pmod {p_1}\\ x\equiv a_2 \pmod {p_2}\\ \cdots\\ x\equiv 0 \pmod {p_n}\\ \end{cases} \cdots \begin{cases} x\equiv 0 \pmod {p_1}\\ x\equiv 0 \pmod {p_2}\\ \cdots\\ x\equiv a_n \pmod {p_n}\\ \end{cases} \]

对于每一个方程组，则单个方程组解显然为 \(a_it_ip_i'\)，由于余数具有可加性，所以所有方程的解为 \(\sum a_it_ip_i'\)

exCRT

与 CRT 唯一的区别是不保证 \(p_1,p_2\cdots p_n\) 互质。

此时 CRT 的结论就不能用了，因为不互质的情况下，上述拆分无法进行。所以需要其他方法进行求解。

注意到，如果能将两个同余方程合并为一个同余方程组，那么就可以类似地依次合并每一个方程，问题得解。考虑同余方程组：

\[\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {p_1}\\ x \equiv a_2 \pmod {p_2} \end{cases} \]

结论：这个方程组等价于 \(\boxed{x \equiv a_1-p_1\times k_1^*\pmod{\operatorname{lcm}(p1,p2)}}\)，其中 \(k_1^*\) 为方程组 $$p_1k_1-p_2k_2=a_1-a_2$$ 的特解。

证明：

可以将两个方程表示为不定方程：

\[\begin{cases} a_1=p_1k_1+x\\ a_2=p_2k_2+x \end{cases} \]

则可以推出

\[a_1-p_1k_1=a_2-p_2k_2 \]

\[p_1k_1-p_2k_2=a_1-a_2 \]

发现 \(a_1-a_2\) 是常数，\(p_1\) 和 \(p_2\) 是已知的系数，可以用 exgcd 求解特解 \(k_1^*\) 和 \(k_2^*\)，则通解为

\[\begin{cases} k_1=k_1^*-t\times\frac{p_2}{\gcd(p_1,p_2)}\\ k_2=k_2^*+t\times\frac{p_1}{\gcd(p_1,p_2)}\\ \end{cases} \]

那么代入一下，

\[a_1=p_1(k_1^*-t\times\frac{p_2}{\gcd(p_1,p_2)})+x \]

\[a_1=p_1k_1^*-t\times\frac{p_1p_2}{\gcd(p_1,p_2)}+x \]

因为 \(ab=\gcd(a,b)\times \operatorname{lcm}(a,b)\)。

\[a_1=p_1k_1^*-t\times\operatorname{lcm}(p_1,p_2)+x \]

\[x=a_1-p_1k_1^*+t\times\operatorname{lcm}(p_1,p_2) \]

再化回同余方程，则得证。

类似地，一直合并下去即可求解。