Petrozavodsk Summer 2024. Day 5: Der Kontest, Petrozavodsk Summer 2024. Day 4. Danil Zashikhin && Atilla Gün Contest 嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟vv

Periodic Sequence

可以 \(O(d(n))\) 求出字符串的所有整周期。

Infinity Triples

\((a,b,c)\) 合法等价于

• \(a,b,c\le N\)
• \(b<c\)
• \(a/(a,b)\) 与 \(c\) 互质。

Mod Graph

有趣的结论题。

Blind Gauss

一辈子想不出来的题。

先在模 \(2\) 意义下（\(F_2\)）考虑，构造 \(|a_i|=b_i\)，且 \(\{a_i\}\) 线性无关。

这个有一个随机化做法，先确定 \(|a_i|=n\) 的 \(a_i\)，防止随机化卡死。然后逐一随机 \(a_i\) 使得 \(a_i\) 和前面的 \(a_j\) 无关。

然后是很厉害的一步，先在 \(F_2\) 意义下，做高斯消元，消得一个上三角矩阵。然后在 \(\Z\) 意义下做上面的逆过程，得到最终的矩阵。这个矩阵仍然满足每一行的限制，且行列式只可能为 \(+1/-1\)。这一过程可以理解为拆成一些初等变换。

最后，如果行列式为 \(-1\)，那么交换两行，问题是这样就不满足行的限制了。解决办法是交换两列。

Pizza Restaurant

分讨几种情况。

• \(|a|=|b|,k=1\)。
• \(|a|\ge k|b|\)。
• \(|a|<k|b|\)
  • \(|a|>|b|\)
  • \(|a|<|b|\)

然后哈希一下就能 \(O(n\ln n)\)。如果注意一下实现细节就能 \(O(n)\)。