哇，三角

刚学会了费马点，然后编出来了这篇博客。

前置知识：哇，高考（2）

正如上文所说，我们需要找到 \(PA+bPB+cPC\) 的最小值。其中 \(0<c\le b<1\)。

声明：这里的 \(P\) 不一定要在三角形内部，只要在平面上就行。

还是考虑旋转模型：将 \(\triangle BPC\) 绕点 \(C\) 顺时针旋转，假设角度为 \(\alpha\)，不同于简单情况这里做一些改变，在旋转的同时将 \(\triangle BPC\) 放大 \(b\) 倍，得到 \(\triangle B'C'P\)。由于相似 \(CP'=bCP,BP'=bBP\)。我们希望此时 \(PP'=cCP\)，那么就完成了构造。

整理一下，设 \(CP=1\)，考虑 \(\triangle CPP'\)：

• \(\angle PCP'=\alpha\)；
• \(CP=1\)；
• \(CP'=b\)；
• \(PP'=c\)。

存在这样的三角形（可以为退化的三角形）当且仅当 \(b+c\ge 1\)，由余弦定理得 \(\cos\alpha=\frac{1+b^2-c^2}{2b}\)。答案为 \(AB'\) 的长。

当 \(b+c<1\) 的时候，不存在这样的三角形，构造不成立。

但是这时我们注意到最优的点 \(P\) 的位置在点 \(A\) 处，答案为 \(bAB+cAC\)。

证明对于任意一点 \(P\)，都有 \(PA+bPB+cPC\ge bAB+cAC\)。

如果 \(\max(b,c)\le \frac 12\)，\(bAB+cAC\le b(PA+PB)+c(PA+PC)\le (\frac12PA+bPB)+(\frac12 PA+cPC)\le PA+bPB+cPC\)。

否则也是一样的，\(bAB+cAC\le b(PA+PB)+c(PA+PC)\le PA+bPB+cPC\)，证毕！

至此，我们得到了问题的完全版的解：\(aPA+bPB+cPC\) 的最小值，\(a,b,c\ge 0\)。

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给定 \(8\times 8\) 的棋盘，马走横 \(3\) 竖 \(4\)，不能走出棋盘外，问是否存在经过所有格子恰好一次的路径。

不能走出棋盘外，这是一条很重要的限制。如果棋盘是模 \(8\) 循环的，就很显然了。

反证，假设存在。

考虑左上角的点 \((1,1)\)，如果不是起点或终点，则必须走出一条 \((4,5)\to (1,1)\to (5,4)\) 或 \((5,4)\to (1,1)\to (4,5)\) 的路径。对于 \((1,2),(2,1),(2,2)\)，同理。对于右上，右下，左下，亦是如此。

考虑 \((4,4)\) 这个格子，假设 \((1,2),(2,1),(2,7)\) 都不是起点或者终点，对于 \((4,4)\) 就要在经过 \((1,2),(2,1),(2,7)\) 这三个格子前后都各要经过一次，由于 \((4,4)\) 只能经过一次，所以 \((1,2),(2,1),(2,7)\) 这三个格子当中必然最多只能经过两个，就推出了矛盾。

由于起点或终点最多只能有两个，所以对于 \((4,4),(4,5),(5,4),(5,5)\) 这四个格子里，至少有一个假设成立，故矛盾。综上所述，一定不存在经过所有格子恰好一次的路径。