三轮省集旧题新补

[CEOI 2019] Building Skyscrapers

对于 \(T=1\) 有一个构造方法：每次在和当前区域连通的格子里选择一个 \(x\) 坐标最小的格子，如果 \(x\) 相同选择 \(y\) 最小的，进行扩展。可以证明这种方式构造出的图形不会出现闭合的圈。

对于 \(T=2\)，即最大化删除的字典序。注意到由上面的构造算法的存在，一个局面有解等价于棋盘格子八连通。所以就是找到非割点中且能到达无穷远处且编号最大的格子删去。问题转化为网格图删点维护割点。

我们不直接地维护黑点的删点连通性，而是维护白点的连通性。对一个黑点，它能否成为割点之和周围八个格子里白点的连通性有关，具体地，当且仅当存在以下两种情况时可以断定 x 是割点：

A#B AAA
#xB #x#
BBB BBB

其中 # 与 # 是连通的白点，A 存在一个黑点，B 也存在一个黑点。

只有黑点周围的八个白点是有用的，总数是 \(O(n)\) 的。

每次将一个黑点变为白点，由于保证了和边界连通，所以只需要对新连通的白点 check 周围的 8 个黑点。维护每个点是否和边界连通，从新加入的白点开始 dfs 拓展周围的 4 个点。

注意一些常数问题，用 cc_hash_table 而不是 map 套 map 存 id 数组。像下面就是一个优雅的写法：

struct pair_hash {
    long long operator()(const pair<int, int> &p) const {
        return 1ll * p.first * (int)2e9 + p.second;
    }
};
cc_hash_table<pii,int,pair_hash> id;

熟记单词拼写。

#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include<ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
using namespace __gnu_pbds;

[PA 2024] Dzielniki

我们可以加入随机扰动。设置一个随机数 \(C\)，求出答案 \(+C\)。这样可以避免受到极端数据的影响，于是我们 只关心随机数据下的表现。

考虑增量，已知 \(x\bmod 2^k\)，确定 \(x\bmod 2^{k+1}\)。

设 \(x\equiv x'\pmod {2^k}\)。

询问 \(2^k-x'\)：若 \(k+1|d(2^k-x')\)，可以推断出 \(x\equiv x'+2^k\pmod {2^{k+1}}\)；
询问 \(2^{k+1}-x'\)，若 \(k+1|d(2^{k+1}-x')\)，可以推断出 \(x\equiv x'\pmod {2^{k+1}}\)。

上述推断是基本成立的，除非 \(d(2^k-x')\ ,\ d(2^{k+1}-x')\) 具有 \(\ne 2\) 的质因子的幂次能够凑出 \(k+1\)。但这样也没关系，递归下去判断即可。

上述底数并非固定为 \(2\)，可以换成 \(3,5,7\) 之类的数，实测不如 \(2\) 优。

[UOI 2024] Zeroing the Segments

设 \(c_x\) 表示 \(\le x\) 的个数，经过一些转化可以变成区间询问 \(\max c_x-x\)。

考虑一张二分图，左部点 \(i\) 对右部点 \(j\le a_i\) 有连边，询问的是左部的失配点个数。

扫描线 \(i\)，设匹配点集为 \(S\)。如果能匹配 \(i\) 则匹配；否则选出一个最小的 \(j\in S\) 删掉 \(j\) 再匹配 \(i\)。

线段树维护 \(w_i=i-c_i\)，时刻保持 \(w_i\ge 0\)。用另一棵线段树二分 \(j\)。主席树维护矩形加在线单点查。

[CTT 2023] Bulbel