数论基础

dalaoa

BSGS

需要保证 \((a,p)=1\)。

之前写的做法都是设 \(x=Bx'+y'\)，但这样需要求一次 \(a^B\) 的逆元。

一种不需要求逆元的方法是设 \(x=Bx'-y'\)。

exBSGS

求解满足方程 \(a^x\equiv b\pmod p\) 的最小的非负整数 \(x\)，时间复杂度 \(O(p^{0.5}+\log^2 p)\)。

如果 \((a,p)=1\)，这种情况直接运行普通的 BSGS 求解。

设 \(g=(a,p),a=a'g,p=p'g\)。

若 \(g\nmid b\) 则一定无解。

否则设 \(b=b'g\)。

等式两边同时约去一个 \(g\)，得到 \(a'(a^{x-1})\equiv b'\pmod {p'}\)。

特判 \(x=0\) 后递归解决，这样的递归只会发生 \(O(\log p)\) 轮。

exCRT

假设要合并两个方程

联立

① \(x\equiv b_1\pmod {a_1}\)
② \(x\equiv b_2\pmod {a_2}\)

即 \(x=k_1a_1+b_1=k_2a_2+b_2\)。

\(k_1a_1-k_2a_2=b_2-b_1\)。

新的 \(a=\lcm(a_1,a_2)\)。新的 \(b\) 使用 exgcd 求解即可。

exLucas

基于值域预处理的快速离散对数

给定素数 \(p\) 的一个原根 \(g\)，\(q\) 次询问 \(n\) 求 \(\log_g n\)。

对于 \([1,\sqrt n]\) 以内的数预处理出离散对数，这一步复杂度为 \(O(\sqrt{p/log p})\)。

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@dcytrl 糖