Hall 定理及其推论

考虑一张左右点集为 \(A,B\)，另有 \(m=|E|\) 条边的二分图 \(G=(V,E)\)。

Hall 定理指出了：

• \(G\) 中存在大小为 \(|A|\) 的完美匹配（若 \(|A|>|B|\) 则一定不存在），当且仅当对于任意一 \(S\subseteq A\)，都有 \(|n(S)|\ge |S|\)。

带点权的扩展：

假设点 \(i\) 有 \(a_i\) 个分身，则 \(G\) 存在完美匹配当且仅当 \(\forall S\subseteq A,\sum_{i\in S}a_i\le \sum_{i\in n(S)}a_i\)。

推论：

\(G\) 的最大匹配为 \(|A|-\max_{S\subseteq A}\{|S|-|n(S)|\}\)。