代数推导天地灭！

计数满足以下条件的 \(x_1,x_2,...,x_n\) 序列的个数：
\(0\le x_i\le m\)；
\(\sum x_i=m\)；
\(x_1+x_2+...+x_a>[m/2]\)。

令 \(r=[m/2]+1\)。

枚举 \(x_1+x_2+...+x_a\)，显然可以得到：
\(\sum_{i=r}^m C(i+a-1,i)C(m-i+n-a-1,m-i)\)。

对称地，我们也可以枚举最大的 \(j\) 满足 \(x_1+x_2+...+x_j<r\)，得到：

\(\sum_{j=0}^{a-1}C(r-1+a,j)C(m+n-r-a,n-1-j)\)。

两式的结构是类似的，但我们稍后将会看到，下面的式子更易于处理。

上式的值记作 \(f_a\)。

令 \(A=r-1\)，\(B=m+n-r\)。

\(f_x=\sum_{i=0}^{x-1}C(A+x,i)C(B-x,n-1-i)\)，非常齐次。

\(f_{x+1}=\sum_{i=0}^x C(A+x+1,i)C(B-x-1,n-1-i)\)。

\(f_{x+1}=\sum_{i=0}^x (C(A+x,i)+C(A+x,i-1))(C(B-x,n-i)-C(B-x-1,n-i))\)。

\(f_{x+1}=f_x+\sum_{i=0}^x C(A+x,i)C(B-x,n-i)-C(A+x,i)C(B-x-1,n-i)-C(A+x,i-1)C(B-x-1,n-i)\)。

\(f_{x+1}=f_x\sum_{i=0}^x C(A+x,i)C(B-x,n-1-i)-C(A+x,i-1)C(B-x-1,n-i)\)。

下标平移之后就抵消了，产生一个余项 \(C(A+x,x)C(B-x,n-1-x)\)。

所以 \(f_{x+1}=f_x+C(A+x,x)C(B-x,n-1-x)\)。

真的是太神奇了！