单位根与分圆多项式

别看了，别看了，科技误国。

单位根

单位根是一个优秀的代数结构，在 fwt，fft 等很多地方都有用处。

\(n\) 次单位根 \(w_n\) 具有以下性质：

• \(w_n^n=1\)。
• \(w_n^a w_n^b=w_n^{a+b}\)。
• \((w_n^a)^b=w_n^{ab}\)。
• \(w_{dn}^{dk}=w_n^k\)。
• 若 \(2\mid n\)，\(w_n^{\frac n2}=-1\)。
• \(w_n^0+w_n^k+...+w_n^{(n-1)k}=n[n\mid k]\)。（单位根反演）

阶：\(w_n^k\) 的阶为 \(\frac n{(n,k)}\)。

本原单位根：阶为 \(n\) 的单位根，也就是不能再约分的单位根。共 \(\phi(n)\) 个。

分⚪多项式

设 \(n\) 次本原单位根为 \(w_n^{k_1},w_n^{k_2},...,w_n^{k_{m}}\)，\(n\) 级分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 定义为 \((x-w_n^{k_1})...(x-w_n^{k_m})\)。

分圆多项式有一些性质：

• \(\deg \Phi_n=\phi(n)\)。
• \(\Phi_n\) 是 \(\mathbb Z[x]\) 上的不可约多项式。
• \(x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)\)。这说明 \(\Phi_n(x)\mid x^n-1\)。
• \(\Phi_n​(x)=(−1)^{[n=1]}\prod_{d∣n}(1−x^d)\mu(\frac dn​)\)，也就是莫比乌斯反演。这告诉了我们分圆多项式怎么求。

例题：CF1103E Radix sum

\(10\) 进制 FWT。

REFERENCE

https://zhuanlan.zhihu.com/p/105400582