「题解」[THUPC 2023] Freshman Dream

给定 随机生成的 \(01\) 矩阵 \(\mathbf A\in\Z_2^{n\times n}\) 和 并不随机生成的 \(0 \le k \le n^2\)，构造 \(01\) 矩阵 \(\mathbf B\in\Z_2^{n\times n}\) 使得 \(\mathbf A\times\mathbf B=\mathbf A\cdot\mathbf B\)，要求 \(\mathbf B\) 中恰好包含 \(k\) 个 \(1\)。

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直觉告诉我们，可行的 \(\mathbf B\) 不会太多。尝试找到所有的解。

条件是 \(\forall 1\le i,j\le n\)，\(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}=a_{ij}b_{ij}\)。考虑固定 \(j\)。

记 \(x_k=b_{kj}\)。可以得到一个齐次方程组：

\[\begin{bmatrix} a_{11}-a_{1j}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}-a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-a_{nj} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix} \]

由于随机，增广矩阵的秩不会太小，可以暴力找到所有可能的解，然后背包起来即可。使用 bitset 优化消元，复杂度 \(O\left(\dfrac{n^4}{\omega}\right)\)。