「题解」CF1149E Election Promises（神仙分组博弈类 SG 自推）

神仙博弈！

对结点分组，定义结点 \(u\) 的 组别 \(\text{Id}_u\) 为 \(u\) 的后继结点 \(\text{Id}\) 的 \(\operatorname{mex}\)。

定义组别为 \(x\) 的点的集合为 \(S_x\)，组别 \(x\) 的 权值 为 \(S_x\) 中所有结点值的异或和。

一些显而易见的性质：

• 对于一条边 \(u\to v\)，\(\text{Id}_u\ne \text{Id}_v\)。
• 对于 \(u\)，满足存在 \(u\to v\)，\(\text{Id}_v\) 构成的集合包含所有小于 \(\text{Id}_u\) 的数。

一些挖掘可得的性质：

• 对于组别 \(x\)，若权值为零，操纵 \(S_x\) 中的点一定会导致权值非零。
• 对于组别 \(x\)，若权值非零，操作 \(S_x\) 中的点一定可以导致 \(y\le x\)，\(y\) 的权值为 \(0\)。

因此：

• 若当前状态中，所有组别的权值均为零，先手必败；否则必胜，此时操纵权值不为 \(0\) 的最大编号的组中最大权的点即可做到。