「题解」Ucup #10 浙江 K. Knapsack Problem（背包套数位 DP）

描述

思路

可以看作 \(k\) 个背包，每个物品对二进制位为 1 所在的背包产生贡献。

如果背包大小比较小，可以直接背包 DP。

现在 \(a_i\) 比较大，可以考虑按数位最低到高 填写每个 \(x_i\)。

设 \(f_{i,j,k}\) 表示正在填第 \(i\) 位，已经填完了前 \(j-1\) 个物品，每个背包后 \(i-1\) 位的进位的集合为 \(k=\{k_1,k_2,k_3,k_4\}\)。

有 \(0\le j_i\le 7+8\)，因为每个背包拥有的物品数 \(\le 8\)，从 \(i-1\) 进来的 \(7\)，加上当前这一位进来的 \(8\)。

这样仍然不足以通过。

考虑三件物品 \(x_1,x_2,x_3\)，此时让 \(x_1,x_2\) 减去 \(1\)，\(x_3\) 加上 \(1\)，或相反，必然会使 \(x_1,x_2,x_3\) 中一个为 \(0\)，而答案不劣。

爆搜可以得出每种方案，一定存在最优解使得最多只有 \(5\) 个不为空，这样 \(j_i\) 可以优化到 \(9\)，复杂度 \(\mathcal{O}(2^k 10^k \log W )\)。

其实 \(j_i\) 还可以优化到 \(7\)（？）